https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2009/Rikei_B

2025.10.29記

[3] $n$ 枚のカードを積んだ山があり，各カードには上から順番に1から $n$ まで番号がつけられている．ただし $n\geqq2$ とする．このカードの山に対して次の試行を繰り返す．1回の試行では，一番上のカードを取り，山の一番上にもどすか，あるいはいずれかのカードの下に入れるという操作を行う．これら $n$ 通りの操作はすべて同じ確率であるとする． $n$ 回の試行を終えたとき，最初一番下にあったカード（番号 $n$ ）が山の一番上にきている確率を求めよ．

2025.11.14記
$n-1$ 回の試行を終えたとき，最初一番下にあったカード（番号 $n$ ）が山の一番上にくる場合は全てのカードを番号 $n$ のカードの下に入れなければなりません（ $(n-1)!$ 通り）．では試行をさらに1回増やしたときにその1回は何をやっているのでしょうか．そのカードを番号 $n$ のカードの上か下かに入れる，ということを考えるので，そのカードの番号が $n$ はどうかで場合分けをすることになります．

[解答]
$n$ 回の試行のうち， $n-1$ 回の試行ではカードを番号 $n$ のカードの下に入れなければならないので，残りの1回は番号 $n$ のカードの下に入れない．

(i) 番号 $n$ のカードの下に入れないカードの番号が $k$ （ $k\neq n$ ）のとき
番号 $n$ のカードの上には $n-k$ 枚カードがあるので求める場合の数は $(n-k)\cdot (n-1)!$ 通り

(ii) 番号 $n$ のカードの下に入れないカードの番号が $n$ のとき
番号 $n$ のカードは山の一番上にもどすしかないので求める場合の数は $1\cdot (n-1)!$ 通り

よって求める場合の数は
$\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (n-k) +1\right)\cdot (n-1)!$ $=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} i +1\right)\cdot (n-1)!$ $=\dfrac{n^2-n+2}{2}\cdot (n-1)!$
となり，求める確率は $\dfrac{(n^2-n+2)\cdot (n-1)!}{2n^n}$ となる．