2009年(平成21年)京都大学-数学(理系乙)[2]

[2] 平面上の鋭角三角形 の内部(辺や頂点は含まない)に点 をとり， を ，， を通る円の中心， を ，， を通る円の中心， を ，， を通る円の中心とする．このとき ，，，，， が同一円周上にあるための必要十分条件は が の内心に一致することであることを示せ．

[解答]
は の外心だから の垂直二等分線上にあるので， は弧 の中点となり， となり，円周角の定理からこれは に等しい．同様に が成立する．

一方， は の外心だから の垂直二等分線上にあり，同様に は の外心だから の垂直二等分線上にある．よって は の垂直二等分線である．

よって と ， の交点を とおくと ] が成立し， は の二等三角形となり， は から底辺への垂線となるので頂角を二等分する．同様に は の二等分線であり， は の二等分線となるので， は の内心である．

逆に が内心のとき，

となり， は同一円周上にある．同様に ， も の外接円上にあり十分である．