https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2009/Rikei_B

2025.10.29記

[1] $xyz$ 空間で $\mbox{O}(0，0，0)$ ， $\mbox{A}(3，0，0)$ ， $\mbox{B}(3，2，0)$ ， $\mbox{C}(0，2，0)$ ， $\mbox{D}(0，0，4)$ ， $\mbox{E}(3，0，4)$ ， $\mbox{F}(3，2，4)$ ， $\mbox{G}(0，2，4)$ を頂点とする直方体 $\mbox{OABC}-\mbox{DEFG}$ を考える．辺 $\mbox{AE}$ を $s:1-s$ に内分する点を $\mbox{P}$ ，辺 $\mbox{CG}$ を $t:1-t$ に内分する点を $\mbox{Q}$ とおく．ただし $0\lt s\lt 1$ ， $0\lt t\lt 1$ とする． $\mbox{D}$ を通り， $\mbox{O}$ ， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ を含む平面に垂直な直線が線分 $\mbox{AC}$ (両端を含む)と交わるような $s$ ， $t$ のみたす条件を求めよ．

2025.11.13記

[解答]
線分 $\mbox{AC}$ (両端を含む)上の点 $\mbox{R}(3-3u，2u，0)$ （ $0\leqq u\leqq 1$ ）に対し， $\overrightarrow{\mbox{DR}}\perp\overrightarrow{\mbox{OP}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{DR}}\perp\overrightarrow{\mbox{OQ}}$ が成立すれば良く， $\overrightarrow{\mbox{DR}}=(3-3u，2u，-4)$ ， $\overrightarrow{\mbox{OP}}=(3，0，4s)$ ， $\overrightarrow{\mbox{OQ}}=(0，2，4t)$ から
$16s+9u=9，u=4t$
となる． $0\lt s\lt 1$ ， $0\lt t\lt 1$ とから

$16s+36t=9，0\lt s\lt\dfrac{9}{16}$ （または $0\lt t\lt \dfrac{1}{4}$ ）

となる．

$\mbox{R}$ が直線 $\mbox{AC}$ を動くと線分 $\mbox{DR}$ は平面 $\mbox{DAC}$ を描きます．つまり線分 $\mbox{DR}$ は平面 $\mbox{DAC}$ の法線ベクトルに必ず垂直です．よって平面 $\mbox{OPQ}$ は平面 $\mbox{DAC}$ の法線ベクトル $\left(\dfrac{1}{3}，\dfrac{1}{2}，\dfrac{1}{4}\right)$ $\parallel(12，18，9)$ に平行となることが必要です．ここで $4\overrightarrow{\mbox{OP}}+9\overrightarrow{\mbox{OQ}}=(12，18，16s+36t)$ ですから， $16s+36t=9$ となることが必要となります．そしてこの条件を満たすように $(s，t)$ を変化させると $\mbox{OPQ}$ は $(12，18，9)$ を軸に回転し，うまく $\mbox{DR}$ と垂直なるような $(s，t)$ をとることができるのですが，これを幾何的に説明しようとするぐらいなら[解答]のように解く方が楽なので，とりあえず $16s+36t=9$ となることは確認できたというところで留めておきます．