2009年(平成21年)京都大学-数学(理系乙)

[1] 空間で ，，，，，，， を頂点とする直方体 を考える．辺 を に内分する点を ，辺 を に内分する点を とおく．ただし ， とする． を通り，，， を含む平面に垂直な直線が線分 (両端を含む)と交わるような ， のみたす条件を求めよ．

[2] 平面上の鋭角三角形 の内部(辺や頂点は含まない)に点 をとり， を ，， を通る円の中心， を ，， を通る円の中心， を ，， を通る円の中心とする．このとき ，，，，， が同一円周上にあるための必要十分条件は が の内心に一致することであることを示せ．

[3] 枚のカードを積んだ山があり，各カードには上から順番に1から まで番号がつけられている．ただし とする．このカードの山に対して次の試行を繰り返す．1回の試行では，一番上のカードを取り，山の一番上にもどすか，あるいはいずれかのカードの下に入れるという操作を行う．これら 通りの操作はすべて同じ確率であるとする． 回の試行を終えたとき，最初一番下にあったカード（番号 ）が山の一番上にきている確率を求めよ．

[4] を をみたす行列とする（ ，，， は実数）．自然数 に対して平面上の点 を

により定める． と
の長さが のとき，すべての に対して の長さが であることを示せ．ここで は原点である．

[5] 平面上で原点を極， 軸の正の部分を始線とする極座標に関して，極方程式 （ ）により表される曲線を とする． と 軸とで囲まれた図形を 軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．

[6] と を互いに素，すなわち1以外の公約数を持たない正の整数とし，さらに は奇数とする．正の整数 に対して整数 ， を をみたすように定めるとき，次の(1)，(2)を示せ．ただし が無理数であることは証明なしに用いてよい．

(1) は奇数であり， と は互いに素である．

(2) すべての に対して， は奇数であり， と は互いに素である．