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2009年(平成21年)京都大学-数学(理系甲)[3]

2025.10.29記

[3] $x$ ， $y$ は $x\neq1$ ， $y\neq1$ をみたす正の数で，不等式 $\log_xy+\log_yx\gt 2+(\log_x2)(\log_y2)$ をみたすとする．このとき $x$ ， $y$ の組 $(x，y)$ の範囲を座標平面上に図示せよ．

2025.11.16記

[解答]
$X=\log_2 x$ ， $Y=\log_2 y$ とおくと
$\dfrac{Y}{X}+\dfrac{X}{Y}\gt 2+\dfrac{1}{XY}$ ，
つまり
$\dfrac{(Y-X+1)(Y-X-1)}{XY}\gt 0$
が成立する．

境界 $X=0$ は $x=1$ ，境界 $Y=0$ は $y=1$ ，境界 $Y-X+1=0$ は $2y-x=0$ ，境界 $Y-X-1=0$ は $2x-y=0$ に対応するので，第1象限に $x=1$ ， $y=1$ ， $y=2x$ ， $x=2y$ を描き分けられた部分を例えば $(x，y)=(2，2)$ が含まれないように交互に塗り分ければ良い（図示略）．

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