https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2009/Rikei_A

2025.10.29記

[2]平面上に三角形 $\triangle\mbox{OA}_1\mbox{A}_2$ と点 $\mbox{A}_3$ ， $\mbox{A}_4$ ， $\mbox{A}_5$ を， $n=1$ ， $2$ ， $3$ に対して $\triangle\mbox{OA}_n\mbox{A}_{n+1}$ と $\triangle\mbox{OA}_{n+1}\mbox{A}_{n+2}$ が辺 $\mbox{OA}_{n+1}$ に関して対称になるようにとる． $\triangle\mbox{OA}_2\mbox{A}_5$ の面積が $\triangle\mbox{OA}_1\mbox{A}_2$ の面積の正の整数倍となるとき， $\angle\mbox{A}_1\mbox{OA}_2$ の値を求めよ．

2025.11.15記

[解答]
$\mbox{O}(0，0)$ ， $\mbox{A}_1(a，0)$ ， $\mbox{A}_2(b\cos\theta，b\sin\theta)$ とおくと $\mbox{A}_5(a\cos4\theta，a\sin4\theta)$ であるから
$\triangle\mbox{OA}_1\mbox{A}_2$ $=\dfrac{ab}{2}\sin\theta$ ， $\triangle\mbox{OA}_2\mbox{A}_5$ $=\dfrac{ab}{2}|\sin3\theta|$ が成立する．

よって $\dfrac{\sin3\theta}{\sin\theta}=3-4\sin^2\theta$ が整数であれば良い．
$0\lt \sin^2\theta\leqq 1$ に注意して

(i) $3-4\sin^2\theta=2$ のとき $\sin\theta=\pm\dfrac{1}{2}$ から $\theta=\dfrac{\pi}{6}，\dfrac{5\pi}{6}$ となる．

(ii) $3-4\sin^2\theta=1$ のとき $\sin\theta=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ から $\theta=\dfrac{\pi}{4}，\dfrac{3\pi}{4}$ となる．

(iii) $3-4\sin^2\theta=0$ のとき $\triangle\mbox{OA}_2\mbox{A}_5$ の面積が $\triangle\mbox{OA}_1\mbox{A}_2$ の面積の $0$ 倍となり，正の整数倍とはならず不適．

(iv) $3-4\sin^2\theta=-1$ のとき $\sin\theta=1$ から $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ となる．

以上から $\angle\mbox{A}_1\mbox{OA}_2$ $=\dfrac{\pi}{6}，\dfrac{\pi}{4}，\dfrac{\pi}{2}，\dfrac{3\pi}{4}，\dfrac{5\pi}{6}$ となる．

ちょっと 1972年(昭和47年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR を思い出しました．