https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2009/Rikei_A_1

2025.10.29記

[1]問2 白球と赤球の入った袋から2個の球を同時に取り出すゲームを考える．取り出した2球がともに白球ならば「成功」でゲームを終了し，そうでないときは「失敗」とし，取り出した2球に赤球を1個加えた3個の球を袋にもどしてゲームを続けるものとする．最初に白球が2個，赤球が1個袋に入っていたとき， $n-1$ 回まで失敗し $n$ 回目に成功する確率を求めよ．ただし $n\geqq2$ とする．

2025.11.15記

[解答]
白玉 $2$ 個，赤玉 $k$ 個のときに成功する確率は $\dfrac{1}{{}_{k+2}\mbox{C}_2}=\dfrac{2}{(k+1)(k+2)}$ ，
失敗する確率は $1-{}_{k+2}\mbox{C}_2=\dfrac{k(k+3)}{(k+1)(k+2)}$ であるから求める確率は
$\dfrac{{}_{n-1}\mbox{P}_{n-1}\cdot{}_{n+2}\mbox{P}_{n-1}}{{}_{n+1}\mbox{P}_{n-1}\cdot{}_{n}\mbox{P}_{n-1}}\times\dfrac{2}{(n+1)(n+2)}$ $=\dfrac{2}{3n(n+1)}$
となる．

[解答]
求める確率を $p_n$ とおくと $p_1=\dfrac{1}{3}$ …①であり， $n\geqq 2$ で
$\{1-(p_1+p_2+\cdots+p_{n-1})\}\cdot\dfrac{2}{(n+1)(n+2)}=p_n$ ，
つまり
$p_1+p_2+\cdots+p_{n-1}=1-\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}p_n$ …②
が成立する．よって
$p_1+p_2+\cdots+p_{n}=1-\dfrac{(n+2)(n+3)}{2}p_{n+1}$
とから
$p_n=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}p_n-\dfrac{(n+2)(n+3)}{2}p_{n+1}$ ，
つまり $\dfrac{n(n+3)}{2}p_n=\dfrac{(n+2)(n+3)}{2}p_{n+1}$ から $(n+2)p_{n+1}=np_n$ を経由して
$(n+2)(n+1)p_{n+1}=(n+1)np_n$ $=\cdots=2\cdot1\cdot p_1=\dfrac{2}{3}$
（∵①）
となり， $p_n=\dfrac{2}{3n(n+1)}$ となる．