https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2009/Rikei_A_1

2025.10.29記

[1]問1 正の数 $a$ に対して $xyz$ 空間で $\mbox{O}(0，0，0)$ ， $\mbox{A}(3，0，0)$ ， $\mbox{B}(3，2，0)$ ， $\mbox{C}(0，2，0)$ ， $\mbox{D}(0，0，a)$ ， $\mbox{E}(3，0，a)$ ， $\mbox{F}(3，2，a)$ ， $\mbox{G}(0，2，a)$ を頂点とする直方体 $\mbox{OABC}-\mbox{DEFG}$ を考える． $\mbox{D}$ を通り，3つの頂点 $\mbox{O}$ ， $\mbox{E}$ ， $\mbox{G}$ を含む平面に垂直な直線が辺 $\mbox{BC}$ （両端を含む）と点 $\mbox{P}$ で交わるとき， $a$ の値と $\mbox{P}$ の座標を求めよ．

2025.11.15記
平面 $\mbox{DBC}$ ： $ay+2z=2a$ の法線ベクトル $(0，a，2)$ を平面 $\mbox{OEG}$ ： $2ax+3ay-6z=0$ が含むことが必要であるから
$2a\cdot 0+3a\cdot a+(-6)\cdot 2=0$ （ $a\gt 0$ ）
となり， $a=2$ であることがわります．しかし本問は $\mbox{P}$ の座標を求めるので，始めから $\mbox{P}$ の座標を設定しましょう．

[解答]
$\mbox{P}(t，2，0)$ （ $0\leqq t\leqq 3$ ）とおくと $\overrightarrow{\mbox{DP}}=(t，2，-a)$ が
$\overrightarrow{\mbox{OE}}=(3，0，a)$ ， $\overrightarrow{\mbox{OG}}=(0，2，a)$ の両方に垂直であるから
$3t-a^2=4-a^2=0$ となり， $a\gt 0$ ， $0\leqq t\leqq 3$ から $a=2$ ， $t=\dfrac{4}{3}$ となる．

よって $a=2$ ， $\mbox{P}\left(\dfrac{4}{3}，2，0\right)$ である．