2009年(平成21年)京都大学-数学(理系甲)

問1 正の数 に対して 空間で ，，，，，，， を頂点とする直方体 を考える． を通り，3つの頂点 ，， を含む平面に垂直な直線が辺 （両端を含む）と点 で交わるとき， の値と の座標を求めよ．

問2 白球と赤球の入った袋から2個の球を同時に取り出すゲームを考える．取り出した2球がともに白球ならば「成功」でゲームを終了し，そうでないときは「失敗」とし，取り出した2球に赤球を1個加えた3個の球を袋にもどしてゲームを続けるものとする．最初に白球が2個，赤球が1個袋に入っていたとき， 回まで失敗し 回目に成功する確率を求めよ．ただし とする．

[2]平面上に三角形 と点 ，， を，，， に対して と が辺 に関して対称になるようにとる． の面積が の面積の正の整数倍となるとき， の値を求めよ．

[3] ， は ， をみたす正の数で，不等式 をみたすとする．このとき ， の組 の範囲を座標平面上に図示せよ．

[4] を をみたす行列( ，，， は実数)とし，正の整数 に対して

，

により ， を定める． ならばすべての に対して であることを示せ．

[5] を素数， を正の整数とするとき， は で何回割り切れるか．

[6] 極方程式 （ ）で表される曲線の長さを求めよ．