https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2009/Bunkei

2025.10.29記

[4] 平面上で，鋭角三角形 $\triangle\mbox{OAB}$ を辺 $\mbox{OB}$ に関して折り返して得られる三角形を $\triangle\mbox{OBC}$ ， $\triangle\mbox{OBC}$ を辺 $\mbox{OC}$ に関して折り返して得られる三角形を $\triangle\mbox{OCD}$ ， $\triangle\mbox{OCD}$ を辺 $\mbox{OD}$ に関して折り返して得られる三角形を $\triangle\mbox{ODE}$ とする． $\triangle\mbox{OAB}$ と $\triangle\mbox{OBE}$ の面積比が $2:3$ のとき， $\sin\angle\mbox{AOB}$ の値を求めよ．

2025.11.19記
2009年(平成21年)京都大学-数学(理系甲)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR の類題

[解答]
$\mbox{O}(0，0)$ ， $\mbox{A}(a，0)$ ， $\mbox{B}(b\cos\theta，b\sin\theta)$ （ $0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ ）とおくと $\mbox{E}(a\cos4\theta，a\sin4\theta)$ であるから
$\triangle\mbox{OAB}$ $=\dfrac{ab}{2}\sin\theta$ ， $\triangle\mbox{OBE}$ $=\dfrac{ab}{2}|\sin3\theta|$ が成立する．

よって $\dfrac{|\sin3\theta|}{\sin\theta}=|3-4\sin^2\theta|=\dfrac{3}{2}$ となる． $0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ により $0\lt\sin\theta\lt 1$ であるから $\sin\angle\mbox{AOB}=\sin\theta=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$ となる．