https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2009/Bunkei

2025.10.29記

[2] 整式 $f(x)$ と実数 $C$ が $\displaystyle\int_{0}^{x}f(y)\, dy+\int_{0}^{1}{(x+y)}^2f(y)\, dy=x^2+C$ をみたすとき，この $f(x)$ と $C$ を求めよ．

2025.11.19記

[解答]
$\displaystyle\int_{0}^{1}f(y)\, dy=A$ ， $\displaystyle\int_{0}^{1}yf(y)\, dy=B$ とおき，与えられた式を $x$ で微分すると $f(x)+2Ax+2B=2x$ となるので $f(x)=2(1-A)x-2B$ が成立する．

よって $A=\displaystyle\int_{0}^{1}f(y)\, dy=1-A-2B$ ， $B=\displaystyle\int_{0}^{1}yf(y)\, dy=\dfrac{2}{3}(1-A)-B$ となり， $A=B=\dfrac{1}{4}$ が成立する．

よって $f(x)=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}$ となり， $C=\displaystyle\int_{0}^{1}y^2f(y)\, dy=\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{24}$ となる．