2009年(平成21年)京都大学-数学(文系)

問1 空間上の2点 ， を通る直線 に点 から下ろした垂線の足 の座標を求めよ．

問2 白球と赤球の入った袋から2個の球を同時に取り出すゲームを考える．取り出した2球がともに白球ならば「成功」でゲームを終了し，そうでないときは「失敗」とし，取り出した2球に赤球を1個加えた3個の球を袋にもどしてゲームを続けるものとする．最初に白球が2個，赤球が1個袋に入っていたとき， 回まで失敗し 回目に成功する確率を求めよ．ただし とする．

[2] 整式 と実数 が をみたすとき，この と を求めよ．

[3] ， は ， をみたす正の数で，不等式 をみたすとする．このとき ， の組 の範囲を座標平面上に図示せよ．

[4] 平面上で，鋭角三角形 を辺 に関して折り返して得られる三角形を ， を辺 に関して折り返して得られる三角形を ， を辺 に関して折り返して得られる三角形を とする． と の面積比が のとき， の値を求めよ．

[5] を素数， を正の整数とするとき， は で何回割り切れるか．