https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2008/Rikei_B

2025.10.29記

[5] 次の式で与えられる底面の半径が2，高さが1の円柱 $C$ を考える．

$C= \{ (x，y，z) | x^2+y^2 \leqq 4，\,0 \leqq x \leqq 1 \}$

$xy$ 平面上の直線 $y=1$ を含み， $xy$ 平面と $45^{\circ}$ の角をなす平面のうち，点 $(0，2，1)$ を通るものを $H$ とする．円柱 $C$ を平面 $H$ で二つに分けるとき，点 $(0，2，0)$ を含む方の体積を求めよ．

2025.10.30記

[解答]
$z=h$ （ $0\leqq h\leqq 1$ ）における断面積は， $2\cos\theta=1+h$ なる $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{3}$ を用いて $4\theta-4\sin\theta\cos\theta$ となる．よって求める体積は $-2\sin\theta\, d\theta=dh$ に注意すると
$\displaystyle\int_{h=0}^{h=1} (4\theta-4\sin\theta\cos\theta)\, dh$ $=8\displaystyle\int_{0}^{\pi/3} (\theta\sin\theta-\sin^2\theta\cos\theta)\, d\theta$ $=8\Bigl[ -\theta\cos\theta+\sin\theta-\dfrac{\sin^3\theta}{3}\Bigr]_0^{\pi/3}$ $=8\left(-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{8}\right)$ $=3\sqrt{3}-\dfrac{4\pi}{3}$
となる．

[解答]
$y=t$ （ $1\leqq t\leqq 2$ ）における断面積は $2(t-1)\sqrt{4-t^2}$ であるから，求める体積は
$\displaystyle\int_{1}^{2} 2(t-1)\sqrt{4-t^2}\, dt$ $=\displaystyle\int_{1}^{2} 2t\sqrt{4-t^2}\, dt$ $-\displaystyle\int_{1}^{2} 2\sqrt{4-t^2}\, dt$ $=\Bigl[-\dfrac{2}{3}(4-t^2)^{3/2}\Bigr]_1^2-\left(\dfrac{1}{2}\cdot 2^2\cdot \dfrac{2\pi}{3}-4\cos\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$ $=2\sqrt{3}-\left(\dfrac{4\pi}{3}-\sqrt{3}\right)$ $=3\sqrt{3}-\dfrac{4\pi}{3}$
となる．

[解答]
$x=s$ （ $-\sqrt{3}\leqq s\leqq\sqrt{3}$ ）における断面積は $\dfrac{1}{2}(5-s^2-2\sqrt{4-s^2})$ であるから，求める体積は
$2\displaystyle\int_0^{\sqrt{3}}\dfrac{1}{2}(5-s^2-2\sqrt{4-s^2})\, ds$ $=5\sqrt{3}-\dfrac{3\sqrt{3}}{3}-8\displaystyle\int_0^{\pi/3} \cos^2\theta\, d\theta$
（ $s=2\sin\theta$ ）
$=4\sqrt{3}-8\Bigl[\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\sin 2\theta}{4}\Bigr]_0^{\pi/3}$ $=4\sqrt{3}-\dfrac{4\pi}{3}-\sqrt{3}$ $=3\sqrt{3}-\dfrac{4\pi}{3}$
となる．

結局， $x，y，z$ 軸すべてに垂直な平面で切った断面を考えました．個人的に楽な順番に並べました（楽だと思って計算した順番）．