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2008年(平成20年)京都大学-数学(理系乙)[4]

2025.10.29記

[4] 定数 $a$ は実数であるとする．関数 $y=|x^2-2|$ と $y=|2x^2+ax-1|$ のグラフの共有点はいくつあるか． $a$ の値によって分類せよ．

2025.10.30記

[解答]
$|x^2-2|^2=|2x^2+ax-1|^2$ ，つまり $(x^2+ax+1)(3x^2+ax-3)=0$ の実数解の個数を数えれば良い．

$x^2+ax+1=0$ の実数解の個数は
(i) $|a|\lt 2$ のとき $0$ 個，
(ii) $|a|=2$ のとき $1$ 個，
(iii) $|a|\gt 2$ のとき $2$ 個
である．

$3x^2+ax-3=0$ の実数解の個数は $2$ 個である．

ここで $x^2+ax+1=0$ と $3x^2+ax-3=0$ の共通解について考えると方程式の差である
$2x^2-4=0$ から共通解は $x=\pm\sqrt{2}$ であり， $x=\sqrt{2}$ となるのは $a=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ ， $x=-\sqrt{2}$ となるのは $a=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ である．

以上から
(i) $|a|\lt 2$ のとき $2$ 個，
(ii) $|a|=2，\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ のとき $3$ 個，
(iii) $|a|\gt 2$ かつ $|a|\neq \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ ののとき $4$ 個
となる．

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