https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2008/Rikei_B

2025.10.29記

[3] 空間の1点 $\mbox{O}$ を通る4直線で，どの3直線も同一平面上にないようなものを考える．このとき，4直線のいずれとも $\mbox{O}$ 以外の点で交わる平面で，4つの交点が平行四辺形の頂点になるようなものが存在することを示せ．

本問のテーマ

アファイン変換

2025.10.30記
（可逆）アファイン変換によって平行四辺形は平行四辺形に移るので都合の良い座標系にアファイン変換で移して考えます．[大人の解答]における点の名称は[解答]にあわせたものとなっています．

[大人の解答]
$\mbox{O}$ を原点とし，4直線のうち3直線が $x，y，z$ 軸で残りの1直線の方向ベクトルが $(\alpha_1，\alpha_2，\alpha_3)$ （ $\alpha_1\alpha_2\alpha_3\neq 0$ ）となるようにアフィン変換をすることができ，このアファイン変換には逆変換が存在する．

このとき， $x$ 軸上の点 $\mbox{B}_1(\alpha_1，0，0)$ ， $y$ 軸上の点 $\mbox{B}_2(0，\alpha_2，0)$ ， $z$ 軸上の点 $\mbox{C}_3(0，0，-\alpha_3)$ ，残りの直線上の点 $\mbox{A}_4(\alpha_1，\alpha_2，\alpha_3)$ において $\overrightarrow{\mbox{B}_1\mbox{A}_4}=\overrightarrow{\mbox{C}_3\mbox{B}_2}=(0，\alpha_2，\alpha_3)$ が成立するので，四角形 $\mbox{B}_1\mbox{A}_4\mbox{B}_2\mbox{C}_3$ は平行四辺形である．（可逆）アファイン変換によって平行四辺形は平行四辺形に移るので題意は示された．

このことを念頭に置くと次の[解答]になる．

[解答]
$4$ 直線を $l_1$ 〜 $l_4$ とし， $l_k$ 上の $\mbox{O}$ とは異なる点を $\mbox{A}_k$ とおくと $\overrightarrow{\mbox{OA}_4}$ $=\alpha_1\overrightarrow{\mbox{OA}_1}$ $+\alpha_2\overrightarrow{\mbox{OA}_2}$ $+\alpha_3\overrightarrow{\mbox{OA}_3}$ を満たす $0$ でない実数 $\alpha_1，\alpha_2，\alpha_3$ が存在し，改めて $\overrightarrow{\mbox{OB}_k}=\alpha_k\overrightarrow{\mbox{OA}_k}$ なる点 $\mbox{B}_k$ （ $k=1，2，3$ ）を考え， $\overrightarrow{\mbox{OC}_3}=-\overrightarrow{\mbox{OB}_3}$ なる点 $\mbox{C}_3$ を考えると $\overrightarrow{\mbox{OA}_4}$ $=\overrightarrow{\mbox{OB}_1}$ $+\overrightarrow{\mbox{OB}_2}$ $-\overrightarrow{\mbox{OC}_3}$ が成立し， $\overrightarrow{\mbox{B}_1\mbox{A}_4}$ $=\overrightarrow{\mbox{C}_3\mbox{B}_2}$ となるので，四角形 $\mbox{B}_1\mbox{A}_4\mbox{B}_2\mbox{C}_3$ は平行四辺形となる．

$\overrightarrow{\mbox{OA}_4}$ $=\overrightarrow{\mbox{OB}_1}$ $+\overrightarrow{\mbox{OB}_2}$ $+\overrightarrow{\mbox{OB}_3}$ という式は， $\overrightarrow{\mbox{OB}_1}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}_2}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}_3}$ で張られる平行六面体の対角線が $\overrightarrow{\mbox{OA}_4}$ であるという式になっています．