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2008年(平成20年)京都大学-数学(理系乙)[2]

2025.10.29記

[2] 正四面体 $\mbox{ABCD}$ を考える．点 $\mbox{P}$ は時刻0では頂点 $\mbox{A}$ に位置し， $1$ 秒ごとにある頂点から他の $3$ 頂点のいずれかに，等しい確率で動くとする．このとき，時刻 $0$ から時刻 $n$ までの間に， $4$ 頂点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ のすべてに点 $\mbox{P}$ が現れる確率を求めよ．ただし $n$ は1以上の整数とする．

本問のテーマ

包除原理

2025.10.30記

[解答]
$\mbox{A}$ と別の $1$ 点のみに点 $\mbox{P}$ が現れる確率は $\dfrac{1}{3^n}$ ， $\mbox{A}$ と別の $2$ 点のみに点 $\mbox{P}$ が現れる確率は $\dfrac{2^n}{3^n}$ であるから，求める確率は
$1-3\cdot \dfrac{2^n}{3^n}+3\cdot \dfrac{1}{3^n}=\dfrac{3^{n-1}-2^{n}+1}{3^{n-1}}$
となる．

$n=1，2$ のときに値が $0$ で， $n=3$ のとき $\mbox{B}，\mbox{C}，\mbox{D}$ の行き方が $3!$ 通りだから $\dfrac{3!}{3^3}=\dfrac{2}{9}$ となることを検算しましょう．

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