https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2008/Rikei_B

2025.10.29記

[1] 直線 $y=px+q$ が関数 $y=\log x$ のグラフと共有点を持たないために $p$ と $q$ が満たすべき必要十分条件を求めよ．

2025.10.29記

[解答]
$f(x)=\log x-(px+q)$ とおくと $f'(x)=\dfrac{1}{x}-p$ である．

$p\leqq 0$ のとき， $f(x)\to -\infty$ （ $x\to +0$ ）， $f(x)\to +\infty$ （ $x\to +\infty$ ）であるから不適である．よって $p\gt 0$ である．このとき， $f(x)$ の増減は次表．

$x$	$(0)$	$\cdots$	$\dfrac{1}{p}$	$\cdots$	$(+\infty)$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$
$f(x)$		$\nearrow$	$-\log p -1-q$	$\searrow$

よって求める条件は「 $p\gt 0$ かつ $q\gt -\log p -1$ 」となる．

[解答]
$\log x$ の定義域から $x\gt 0$ であり，このとき $x=e^X$ なる $X\in\mathbb{R}$ と $x\in (0，+\infty)$ は一対一対応する．

このとき， $y=pe^X+q$ と $y=X$ が共有点を持たないための $p，q$ の条件を求めれば良い．

ここで $p\leqq 0$ とすると $pe^X+q-X$ は $X\to -\infty$ で $+\infty$ ， $X\to +\infty$ で $-\infty$ となるので $pe^X+q=X$ を満たす $X$ が存在するので不適である．よって $p\gt 0$ である．

このとき $Y=\dfrac{y-q}{p}$ とおくと $Y=e^X$ と $Y=\dfrac{X-q}{p}$ が共有点を持たないための $p，q$ の条件を求めれば良い．ここで $Y=e^X$ の傾きが $\dfrac{1}{p}$ の接線は $X=-\log p$ における接線であり，その方程式は
$Y=\dfrac{1}{p}(X+\log p)+ \dfrac{1}{p}$ $Y=\dfrac{X+\log p+1}{p}$
であるから，求める条件は $q\gt -\log p -1$ 」となり， $p\gt 0$ とあわせて，求める条件は「 $p\gt 0$ かつ $q\gt -\log p -1$ 」となる．