2008年(平成20年)京都大学-数学(理系乙)

[1] 直線 が関数 のグラフと共有点を持たないために と が満たすべき必要十分条件を求めよ．

[2] 正四面体 を考える．点 は時刻0では頂点 に位置し， 秒ごとにある頂点から他の 頂点のいずれかに，等しい確率で動くとする．このとき，時刻 から時刻 までの間に， 頂点 ，，， のすべてに点 が現れる確率を求めよ．ただし は1以上の整数とする．

[3] 空間の1点 を通る4直線で，どの3直線も同一平面上にないようなものを考える．このとき，4直線のいずれとも 以外の点で交わる平面で，4つの交点が平行四辺形の頂点になるようなものが存在することを示せ．

[4] 定数 は実数であるとする．関数 と のグラフの共有点はいくつあるか． の値によって分類せよ．

[5] 次の式で与えられる底面の半径が2，高さが1の円柱 を考える．

平面上の直線 を含み， 平面と の角をなす平面のうち，点 を通るものを とする．円柱 を平面 で二つに分けるとき，点 を含む方の体積を求めよ．

[6] 地球上の北緯 東経 の地点を ，北緯 東経 の地点を とする． から に向かう2種類の飛行経路 ， を考える． は西に向かって同一経度で飛ぶ経路とする． は地球の大円に沿った経路のうち飛行距離の短い方とする． に比べて は飛行距離が3％以上短くなることを示せ．ただし地球は完全な球体であるとし，飛行機は高度0を飛ぶものとする．また必要があれば，この冊子の5ページと6ページの三角関数表（省略）を用いよ．

注：大円とは，球を球の中心を通る平面で切ったとき，その切り口にできる円のことである．