https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2008/Rikei_A

2020.09.04記

[6] 空間内に原点 $\mbox{O}$ を中心とし半径1の球面 $S$ を考え， $S$ 上の2点を $\displaystyle A \left( \dfrac{1}{2}，0，\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$ ， $\displaystyle B \left( \dfrac{1}{4}，\dfrac{\sqrt{3}}{4}，\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$ とする． $\displaystyle z=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ で与えられる平面で $S$ を切った切り口の円において， $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ を結ぶ弧のうち短い方の長さを $l_1$ とする．また3点 $\mbox{O}$ ， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ を通る平面で $S$ を切った切り口の円において， $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ を結ぶ弧のうち短い方の長さを $l_2$ とする．このとき $l_1\gt l_2$ を証明せよ．

2020.09.04記
球面の最短距離は大円に添う劣弧だから当たり前

と書く訳にはいかない．

[解答]
$S$ の $z=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ による切り口の円の半径は $\dfrac{1}{2}$ で弧の中心角は $\dfrac{\pi}{3}$ だから　 $l_1=\dfrac{\pi}{6}$ となる．

また， $l_2$ の弧の中心角は $l_2$ だから $\cos l_2=\dfrac{7}{8}>\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos l_1$ が成立し， $l_2\lt l_1$ となる．