https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2008/Rikei_A

2025.10.29記

[3] $\mbox{AB}=\mbox{AC}$ である二等辺三角形 $\mbox{ABC}$ を考える．辺 $\mbox{AB}$ の中点を $\mbox{M}$ とし，辺 $\mbox{AB}$ を延長した直線上に点 $\mbox{N}$ を， $\mbox{AN}:\mbox{NB}=2:1$ となるようにとる．このとき $\angle\mbox{BCM} = \angle\mbox{BCN}$ となることを示せ．ただし，点 $\mbox{N}$ は辺 $\mbox{AB}$ 上にはないものとする．

2025.11.02記
$\mbox{BC}$ が $\angle\mbox{MCN}$ の2等分線ということなので，
$\mbox{CM}:\mbox{CN}=\mbox{BM}:\mbox{BN}=1:2$
を示すだけです．

[解答]
$\triangle\mbox{AMC}$ と $\triangle\mbox{ACN}$ について
$\mbox{AM}:\mbox{AC}=\mbox{AC}:\mbox{AN}=1:2$ ， $\angle\mbox{MAC}=\angle\mbox{CAN}$
であるから， $\triangle\mbox{AMC}$ ∽ $\triangle\mbox{ACN}$ となり，
$\mbox{CM}:\mbox{CN}=1:2=\mbox{BM}:\mbox{BN}$
が成立するので角の2等分線の性質から $\angle\mbox{BCM} = \angle\mbox{BCN}$ となる．