2008年(平成20年)京都大学-数学(理系甲)

[1] 直線 が関数 のグラフと共有点を持たないために と が満たすべき必要十分条件を求めよ．

[2] 正四面体 を考える．点 は時刻0では頂点 に位置し， 秒ごとにある頂点から他の 頂点のいずれかに，等しい確率で動くとする．このとき，時刻 から時刻 までの間に， 頂点 ，，， のすべてに点 が現れる確率を求めよ．ただし は1以上の整数とする．

[3] である二等辺三角形 を考える．辺 の中点を とし，辺 を延長した直線上に点 を， となるようにとる．このとき となることを示せ．ただし，点 は辺 上にはないものとする．

[4] 定数 は実数であるとする．方程式 を満たす実数 はいくつあるか． の値によって分類せよ．

[5] 次の式で与えられる底面の半径が2，高さが1の円柱 を考える．

平面上の直線 を含み， 平面と の角をなす平面のうち，点 を通るものを とする．円柱 を平面 で二つに分けるとき，点 を含む方の体積を求めよ．

[6] 空間内に原点 を中心とし半径1の球面 を考え， 上の2点を ， とする． で与えられる平面で を切った切り口の円において， と を結ぶ弧のうち短い方の長さを とする．また3点 ，， を通る平面で を切った切り口の円において， と を結ぶ弧のうち短い方の長さを とする．このとき を証明せよ．