https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2008/Bunkei

2025.10.29記

[5] 正 $n$ 角形とその外接円を合わせた図形を $F$ とする． $F$ 上の点 $\mbox{P}$ に対して，始点と終点がともに $\mbox{P}$ であるような，図形 $F$ の一筆がきの経路の数を $N(\mbox{P})$ で表す．正 $n$ 角形の頂点をひとつとって $\mbox{A}$ とし， $a=N(\mbox{A})$ とおく．また正 $n$ 角形の辺をひとつとってその中点を $\mbox{B}$ とし， $b=N(\mbox{B})$ とおく．このとき $a$ と $b$ を求めよ．

注：一筆がきとは，図形を，かき始めから終わりまで，筆を紙からはなさず，また同じ線上を通らずにかくことである．

2025.11.02記
ややこしいです．

[解答]
(i) $a$ について

(a) 最初に反時計回りに動くとき：
(ア) 反時計回りにずっと動く動き方は $2^n$ 通り．

(イ) 途中で時計回りに向きを変えるとき：
頂点を1つ選び $\mbox{C}$ とする． $\mbox{A}$ から $\mbox{C}$ まで反時計回りに動き，折り返して一周して $\mbox{C}$ まで時計回りに動き， $\mbox{C}$ から $\mbox{A}$ まで反時計回りに動いて $\mbox{A}$ に戻る動き方も $2^n$ 通りで $\mbox{C}$ の選び方は頂点の選び方の $n$ 通り．

よって(a)の場合の求める場合の数は $2^n+n2^n=(n+1)2^n$ 通り．

(b) 最初に時計回りに動くとき：(a)と同じく $(n+1)2^n$ 通り．

以上から $a=(n+1)2^{n+1}$ 通り．

(ii) $b$ について

(a) 最初に反時計回りに動くとき：
(ア) 反時計回りにずっと動く動き方は $2^{n-1}$ 通り．

(イ) 途中で時計回りに向きを変えるとき：
$\mbox{B}$ の反時計回り側の隣りの頂点を $\mbox{D}$ ，反対側の隣りの頂点を $\mbox{E}$ とし，それ以外の頂点を1つ選び $\mbox{C}$ とする．

(α) $\mbox{B}$ から $\mbox{E}$ まで反時計回りに進み，折り返して $\mbox{E}$ まで戻り $\mbox{B}$ に戻るのは $2^{n-1}$ 通り

(β) $\mbox{B}$ から $\mbox{C}$ まで反時計回りに進み，折り返して $\mbox{C}$ まで戻り，さらに $\mbox{E}$ まで戻り $\mbox{B}$ に戻るのは $2^{n-1}$ 通り $\mbox{B}$ に戻るのは $2^{n-1}$ 通りで $\mbox{C}$ の選びかたは $n-2$ 透りだから $(n-2)2^{n-1}$ 通り．

よって(a)の場合の求める場合の数は $2^{n-1}+2^{n-1}+(n-1)2^{n-1}=(n+1)2^{n-1}$ 通り．

(b) 最初に時計回りに動くとき：(a)と同じく $(n+1)2^{n-1}$ 通り．

以上から $b=(n+1)2^{n}$ 通り．

[うまい解答]
$a=(n+1)2^{n+1}$ である（略）．

(ii) $b$ について

(a) 最初に反時計回りに動くとき：
$\mbox{B}$ の時計回り側の隣りの頂点を $\mbox{E}$ とすると，求める場合の数は $\mbox{E}$ を出発して $\mbox{E}$ に戻る経路のうち，最初に円弧ではなく辺を選ぶ場合の数だから， $N(A)$ の半分となり， $(n+1)2^{n-1}$ 通り．

(b) 最初に時計回りに動くとき：(a)と同じく $(n+1)2^{n-1}$ 通り．

以上から $b=(n+1)2^{n}$ 通り．

正 $n$ 角形の場合の $N(\mbox{A})$ を $a_n$ とおくと
$a_2=24$ ， $a_3=64$ ， $a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n$
が成立する，という漸化式を作れるのではないかと思いますが，混乱してきたのでそのうち考えることにします．