https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2008/Bunkei

2025.10.29記

[4] $0 \leqq x \lt 2\pi$ のとき，方程式 $2\sqrt{2}(\sin^3x+\cos^3x)+3\sin x\cos x=0$ を満たす $x$ の個数を求めよ．

2025.11.02記
$\sin x$ と $\cos x$ の対称式ですから， $t=\cos x+\sin x$ で表すことができます．このとき $t$ と $x$ は一対一に対応しないことに注意します．

[解答]
$t=\cos x+\sin x$ （ $|t|\leqq\sqrt{2}$ ）とおくと $t=\pm\sqrt{2}$ のときは $x$ が $1$ つ対応し，それ以外は $x$ が $2$ つ対応する．

$t=\pm\sqrt{2}$ となるのは $\sin x=\cos x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のときで，これは方程式を満たさないので $|t|\lt \sqrt{2}$ として良く，この範囲の $t$ の個数の $2$ 倍が $x$ の個数となる．

$t^2=1+2\cos\theta\sin\theta$ であるから，
$2\sqrt{2}(\sin^3 x+\cos^3 x)+3\sin x\cos x$ $=2\sqrt{2}\left(t^3-3t\cdot \dfrac{t^2-1}{2}\right)+3\cdot\dfrac{t^2-1}{2}$ $=-\sqrt{2}t^3+\dfrac{3}{2}t^2+3\sqrt{2} t-\dfrac{3}{2}$
が成立するので，
$f(t)=2\sqrt{2}t^3-3t^2-6\sqrt{2} t+2=0$ （ $|t|\lt\sqrt{2}$ ）
を満たす $t$ の個数を考える．
$f'(t)=6\sqrt{2}\left(t+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)(t-\sqrt{2})$
であるから，増減表は次表．