https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2007/Rikei_B

2025.10.18記

[5] $A$ を2次の正方行列とする．列ベクトル $\overrightarrow{x_0}$ に対し，列ベクトル $\overrightarrow{x_1}$ ， $\overrightarrow{x_2}$ ， $\cdots$ を $\overrightarrow{x_{n+1}}=A\overrightarrow{x_n}$ $(n=0，1，2，\cdots)$ によって定める．ある零ベクトルではない $\overrightarrow{x_0}$ について，3以上の自然数 $m$ で初めて $\overrightarrow{x_m}$ が $\overrightarrow{x_0}$ と一致するとき，行列 $A^m$ は単位行列であることを示せ．

2025.10.19記
2次元の線形変換では線形独立な2本のベクトルの像で線形変換が一意に定まるので，線形独立な2本のベクトルを見つけることが目標となります．そこで $\overrightarrow{x_0}$ と $\overrightarrow{x_1}$ が線形独立であることを示します．

[解答]
$\overrightarrow{x_0}$ （ $\neq\vec{0}$ ）と $\overrightarrow{x_1}$ が線形従属であると仮定すると $\overrightarrow{x_1}=\lambda\overrightarrow{x_0}$ なる実数 $\lambda$ が存在する．

このとき $\overrightarrow{x_0}=\overrightarrow{x_m}=\lambda^m\overrightarrow{x_0}$ であるから， $\overrightarrow{x_0}\neq\vec{0}$ により $\lambda^m=1$ が成立する．ここで $\lambda$ は実数であるから $\lambda=\pm 1$ となる．

(i) $\lambda=1$ のとき： $\overrightarrow{x_1}=\overrightarrow{x_0}$ となり題意に反する．

(ii) $\lambda=-1$ のとき： $\overrightarrow{x_2}=\overrightarrow{x_0}$ となり題意に反する．

よって $\overrightarrow{x_0}$ と $\overrightarrow{x_1}$ が線形独立となる．

このとき， $A^m(\overrightarrow{x_0}\quad\overrightarrow{x_1})=(\overrightarrow{x_0}\quad\overrightarrow{x_1})$ であり， $(\overrightarrow{x_0}\quad\overrightarrow{x_1})$ は $\overrightarrow{x_0}$ と $\overrightarrow{x_1}$ が線形独立であることから逆行列を持つので， $A^m$ は単位行列である．