https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2007/Rikei_B

2025.10.18記

[4] 点 $\mbox{O}$ を中心とする円に内接する $\triangle\mbox{ABC}$ の3辺 $\mbox{AB}$ ， $\mbox{BC}$ ， $\mbox{CA}$ をそれぞれ $2:3$ に内分する点を $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ とする． $\triangle\mbox{PQR}$ の外心が点 $\mbox{O}$ と一致するとき， $\triangle\mbox{ABC}$ はどのような三角形か．

本問のテーマ

スチュワートの定理

2025.10.19記

[解答]
$\mbox{OA}=\mbox{OB}=\mbox{OC}=a$ ， $\mbox{OP}=\mbox{OQ}=\mbox{OR}=p$ とおくと $\triangle\mbox{OAB}$ と $\mbox{AB}$ 上の点 $\mbox{P}$ に対し，スチュワートの定理により
$a^2\cdot\dfrac{2}{5}\mbox{AB}+a^2\cdot\dfrac{3}{5}\mbox{AB}=\mbox{AB}\left(\dfrac{2}{5}\mbox{AB}\cdot \dfrac{3}{5}\mbox{AB}+p^2\right)$ ，
つまり $\mbox{AB}=\dfrac{5}{\sqrt{6}}\sqrt{a^2-p^2}$ が成立する．同様に $\mbox{BC}=\dfrac{5}{\sqrt{6}}\sqrt{a^2-p^2}$ ， $\mbox{CA}=\dfrac{5}{\sqrt{6}}\sqrt{a^2-p^2}$ も成立するので， $\triangle\mbox{ABC}$ は正三角形である．

正三角形であることを予想するなら，外心 $\mbox{O}$ に対して $\overrightarrow{\mbox{OA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OB}}=\overrightarrow{\mbox{OB}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OC}}=\overrightarrow{\mbox{OC}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OA}}$ が成立することを示せば十分です．

[解答]
$\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}}$ ， $\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}}$ ， $\vec{c}=\overrightarrow{\mbox{OC}}$ ， $\vec{p}=\overrightarrow{\mbox{OP}}$ ， $\vec{q}=\overrightarrow{\mbox{OQ}}$ ， $\vec{r}=\overrightarrow{\mbox{OR}}$ とおき，
$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=a$ ， $|\vec{p}|=|\vec{q}|=|\vec{r}|=p$
とおくと，
$\vec{p}=\dfrac{3\vec{a}+2\vec{b}}{5}$ ， $\vec{q}=\dfrac{3\vec{b}+2\vec{c}}{5}$ ， $\vec{r}=\dfrac{3\vec{c}+2\vec{a}}{5}$
により，
$p^2=\dfrac{13a^2+12\vec{a}\bullet\vec{b}}{25}$ $=\dfrac{13a^2+12\vec{b}\bullet\vec{c}}{25}$ $=\dfrac{13a^2+12\vec{c}\bullet\vec{a}}{25}$
となり， $\vec{a}\bullet\vec{b}=\vec{b}\bullet\vec{c}=\vec{c}\bullet\vec{a}$ が成立する．

よって $\mbox{AB}^2=2a^2-\vec{a}\bullet\vec{b}=2a^2-\vec{b}\bullet\vec{c}=\mbox{BC}^2$ ，つまり $\mbox{AB}=\mbox{BC}$ が成立し，同様に $\mbox{BC}=\mbox{CA}$ も成立するので， $\triangle\mbox{ABC}$ は正三角形である．

後半は

$\vec{a}\bullet\vec{b}=\vec{b}\bullet\vec{c}=\vec{c}\bullet\vec{a}$ ， $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|$ により $\cos\angle\mbox{AOB}=\cos\angle\mbox{BOC}=\cos\angle\mbox{COA}$ となり，3つの角度の和が $2\pi$ であることから，それぞれは $\dfrac{2\pi}{3}$ となる．よって， $\triangle\mbox{ABC}$ は正三角形である．

としても良いでしょう．