https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2007/Rikei_B

2025.10.18記

[3] $p$ を3以上の素数とする．4個の整数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ が次の3条件
$a+b+c+d=0$ ， $ad-bc+p=0$ ， $a \geqq b \geqq c \geqq d$
を満たすとき， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を $p$ を用いて表せ．

2025.10.19記
素数という条件を使うために $p=AB$ の形に変形することを目標とします．また， $a \geqq b \geqq c \geqq d$ という条件から
$a+b\geqq a+c \geqq \{b+c，a+d\} \geqq b+d\geqq c+d$
となることがわかりますが， $b+c$ と $a+d$ のどちらが大きいかは $a \geqq b \geqq c \geqq d$ からだけではわかりません（2002年(平成14年)京都大学前期-数学(文系)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 参照）．

[解答]
$a+b+c+d=0$ …①， $ad-bc+p$ …②であり， $a \geqq b \geqq c \geqq d$ から $a+b\geqq a+c \geqq \{b+c，a+d\} \geqq b+d\geqq c+d$ が成立し，①から
$a+b\geqq a+c \geqq \{b+c，a+d，0\} \geqq b+d\geqq c+d$ …③
が成立する．

①②から $d$ を消去すると $p=(a+b)(a+c)$ が成立し， $p$ が奇素数であることと③から $(a+b，a+c)=(p，1)$ が成立する．

よって③から $1 \geqq \{b+c，a+d，0\} \geqq -1$ …④が成立する．

ここで $b-c=(a+b)-(a+c)=p-1$ は偶数であるから $b+c$ も偶数であり，これと①から $a+d$ も偶数である．よって④から $b+c=a+d=0$ となる．

よって $a=\dfrac{(a+b)+(a+c)}{2}=\dfrac{p+1}{2}$ であり，これから $b=\dfrac{p-1}{2}$ ， $c=\dfrac{1-p}{2}$ ， $b=\dfrac{-1-p}{2}$ となる．

これだけの条件で解が唯一に決まるのは $b+c$ が偶数で $1 \geqq \{b+c，a+d\} \geqq -1$ を満たすからです．ここにも $p$ が素数であることが効いている訳です．