https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2007/Rikei_B_1

2025.10.18記

[1](2) 1歩で1段または2段のいずれかで階段を昇るとき，1歩で2段昇ることは連続しないものとする．15段の階段を昇る昇り方は何通りあるか．

2025.10.18記

[解答]
一般の $n$ 段の階段を昇る昇り方を $a_n$ 通りとする． $n+3$ 段の階段を昇るのに，最初が1歩の場合は残り $n+2$ 段の昇り方は $a_{n+2}$ 通りある．また最初が2歩の場合はその次は必ず1段昇るので残り $n$ 段の昇り方は $a_{n}$ 通りある．よって
$a_{n+3}=a_{n+2}+a_n$
が成立する． $a_1=1$ ， $a_2=2$ ， $a_3=3$ （ $1+1+1，1+2，2+1$ の $3$ 通り）であるから， $a_4=4$ ， $a_5=6$ ， $a_6=9$ ， $a_7=13$ ， $a_8=19$ ， $a_9=28$ ， $a_{10}=41$ ， $a_{11}=60$ ， $a_{12}=88$ ， $a_{13}=129$ ， $a_{14}=189$ ， $a_{15}=277$ と計算でき，よって $277$ 通りとなる．

[解答]
2段昇ると3段自動的に昇ってしまうが，最後だけは2段昇ってゴールすることになる．この場合は16段昇ると考えれば良い．

3段昇る回数で場合分けして丁度15段でゴールをする場合は
${}_{15}\mbox{C}_0+{}_{13}\mbox{C}_1+{}_{11}\mbox{C}_2+{}_{9}\mbox{C}_3+{}_{7}\mbox{C}_4+{}_{5}\mbox{C}_5$ $=1+13+55+84+35+1=189$ 通り，

丁度16段でゴールをする場合は最後は3段昇ることになるので，その前の13段を考えて
${}_{13}\mbox{C}_0+{}_{11}\mbox{C}_1+{}_{9}\mbox{C}_2+{}_{7}\mbox{C}_3+{}_{5}\mbox{C}_4$ $=1+11+36+35+5=88$ 通り，

よって合計して $277$ 通りとなる．

この2つを合計すると ${}_n\mbox{C}_k+{}_n\mbox{C}_{k+1}={}_{n+1}\mbox{C}_{k+1}$ から

${}_{15}\mbox{C}_0+{}_{14}\mbox{C}_1+{}_{12}\mbox{C}_2+{}_{10}\mbox{C}_3+{}_{8}\mbox{C}_4+{}_{6}\mbox{C}_5$ $=1+14+66+120+70+6=277$ 通りとなる．

[解答]
2段昇ることを $A$ ，1段昇ることを $B$ とすると $A$ が隣りあわないように $A，B$ を並べる場合の数を数えれば良い．ここで $A，B$ の数を $a，b$ とすると $2a+b=15$ ， $a\leqq b$ であり，このような $(a，b)$ に対して
${}_{b+1}\mbox{C}_a$ を計算すれば良いので求める場合の数は
${}_{16}\mbox{C}_0+{}_{14}\mbox{C}_1+{}_{12}\mbox{C}_2+{}_{10}\mbox{C}_3+{}_{8}\mbox{C}_4+{}_{6}\mbox{C}_5$ $=1+14+66+120+70+6=277$ 通りとなる．