https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2007/Rikei_B_1

2025.10.18記

[1](1) 定積分 $\displaystyle\int_0^2\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}}dx$ を求めよ．

2025.10.18記
$a\neq 0$ のとき
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx$ $=\log(x+\sqrt{x^2+a^2})+(積分定数)$
となることは覚えておきたい公式です．導くときは
$\left\{\dfrac{a}{2}\left(t+\dfrac{1}{t}\right)\right\}^2$ $-\left\{\dfrac{a}{2}\left(t-\dfrac{1}{t}\right)\right\}^2$ $=a^2$
を利用して $x=\dfrac{a}{2}\left(t-\dfrac{1}{t}\right)$ （ $t\gt 0$ ）と置換すると， $dx=\dfrac{a}{2}\left(1+\dfrac{1}{t^2}\right)\,dt$ から
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx$ $=\displaystyle\int\dfrac{1}{\dfrac{a}{2}\left(t+\dfrac{1}{t}\right)}\,\dfrac{a}{2}\left(1+\dfrac{1}{t^2}\right)\,dt$ $=\displaystyle\int\dfrac{1}{\left(t+\dfrac{1}{t}\right)}\,\left(1+\dfrac{1}{t^2}\right)\,dt$ $=\displaystyle\int\dfrac{1}{t}\,dt$ $=\log t+(積分定数)$ （∵ $t\gt 0$ ）
のように得られます．これと
$at^2-2xt-a=0$ の正の解
$t=\dfrac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a}$
を用いて積分結果は
$\log \dfrac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a}+(積分定数)$
$=\log (x+\sqrt{x^2+a^2})-\log a+(積分定数)$
$=\log (x+\sqrt{x^2+a^2})+(積分定数)$
となります．

本問の場合， $a=2$ ですから $x=t-\dfrac{1}{t}$ となり， $x=0$ で $t=1$ ， $x=2$ で $t=1+\sqrt{2}$ となることから，
$\displaystyle\int_0^2 \dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}dx$ $=\Bigl[\log t\Bigr]_1^{1+\sqrt{2}}$ $=\log(1+\sqrt{2})$
となります．

[解答]
$\displaystyle\int_0^2\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}}dx$
$=\Bigl[2\sqrt{x^2+4}+\log(x+\sqrt{x^2+4})\Bigr]_0^2$
$4\sqrt{2}-4 +\log\dfrac{2+2\sqrt{2}}{2}$ $=4\sqrt{2}-4+\log (1+\sqrt{2})$
となる．