2007年(平成19年)京都大学-数学(理系乙)

(1) 定積分 を求めよ．

(2) 1歩で1段または2段のいずれかで階段を昇るとき，1歩で2段昇ることは連続しないものとする．15段の階段を昇る昇り方は何通りあるか．

[2] ， を相異なる正の実数とする．数列 を ，（ ，，， ）によって定めるとき， が有限の値に収束するような座標平面上の点 の範囲を図示せよ．

[3] を3以上の素数とする．4個の整数 ，，， が次の3条件
，，
を満たすとき，，，， を を用いて表せ．

[4] 点 を中心とする円に内接する の3辺 ，， をそれぞれ に内分する点を ，， とする． の外心が点 と一致するとき， はどのような三角形か．

[5] を2次の正方行列とする．列ベクトル に対し，列ベクトル ，， を によって定める．ある零ベクトルではない について，3以上の自然数 で初めて が と一致するとき，行列 は単位行列であることを示せ．

[6] すべての実数で定義され何回でも微分できる関数 が ， を満たし，さらに任意の実数 ， に対して であって を満たしている．

(1) 任意の実数 に対して， であることを証明せよ．

(2) のグラフは で上に凸であることを証明せよ．