https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2007/Rikei_A

2025.10.18記

[6] $y=xe^{1-x}$ と $y=x$ のグラフで囲まれた部分を $x$ 軸の周りに回転してできる立体の体積を求めよ．

2025.10.28記

[解答]
$xe^{1-x}-x=x(e^{1-x}-1)=0$ を解くと $x=0，1$ であり， $0\leqq x\leqq 1$ で $x\leqq xe^{1-x}$ であるから，求める体積 $V$ は
$V=\displaystyle\int_0^1\pi(xe^{1-x})^2\, dx-\dfrac{1}{3}\pi\cdot 1^2\cdot 1$
$=\pi \displaystyle\int_0^1 (1-x)^2 e^{2x}\, dx-\dfrac{\pi}{3}$
$=\pi \Bigl[ \left\{\dfrac{(1-x)^2}{2}-\dfrac{2x-2}{4}+\dfrac{2}{8}\right\}e^{2x} \Bigr]_0^1-\dfrac{\pi}{3}$
$=\pi \left(\dfrac{e^2}{4}-\dfrac{5}{4}\right)-\dfrac{\pi}{3}$
$=\pi \left(\dfrac{e^2}{4}-\dfrac{19}{12}\right)$
となる．