https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2007/Rikei_A

2025.10.18記

[5] $-\dfrac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \dfrac{\pi}{2}$ とする．座標平面上で原点の周りに $\dfrac{\pi}{3}$ 回転する1次変換を $f$ とし，直線 $y=(\tan\alpha)x$ について対称移動する1次変換を $g$ とする．合成変換 $f {\circ} g$ が $x$ 軸について対称移動する1次変換と一致するとき， $\alpha$ の値を求めよ．

2025.10.26記
回転と折り返しの線形変換の合成は折り返しとなります．

[大人の解答]
$(\cos\alpha，\sin\alpha)$ の像は $\left(\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)，\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)\right)$ であり，これらは $x$ 軸について対称な位置にあるので $\dfrac{1}{2}\left\{\alpha+\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)\right\}$ は $\pi$ の整数倍，つまり $2\alpha+\dfrac{\pi}{3}$ は $2\pi$ の整数倍であるから， $-\dfrac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \dfrac{\pi}{2}$ により $\alpha=-\dfrac{\pi}{6}$ である．

表現行列を用いると次のようになります．

[解答]
$f {\circ} g$ で表される行列は
$\begin{pmatrix} \cos\dfrac{\pi}{3} & -\sin\dfrac{\pi}{3} \\ \sin\dfrac{\pi}{3} & \cos\dfrac{\pi}{3} \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin2\alpha \\ \sin2\alpha & -\cos2\alpha \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
から
$\begin{pmatrix} \cos\dfrac{\pi}{3} & -\sin\dfrac{\pi}{3} \\ \sin\dfrac{\pi}{3} & \cos\dfrac{\pi}{3} \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin2\alpha \\ \sin2\alpha & -\cos2\alpha \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin2\alpha \\ -\sin2\alpha & \cos2\alpha \end{pmatrix}$
となるので，
$2\alpha$ と $-\dfrac{\pi}{3}$ の差は $2\pi$ の整数倍であるから， $-\dfrac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \dfrac{\pi}{2}$ により $\alpha=-\dfrac{\pi}{6}$ である．