https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2007/Rikei_A

2025.10.18記

[4] $\triangle\mbox{ABC}$ において， $\angle\mbox{A}$ の二等分線とこの三角形の外接円との交点で $\mbox{A}$ と異なる点を $\mbox{A}'$ とする．同様に $\angle\mbox{B}$ ， $\angle\mbox{C}$ の二等分線とこの外接円との交点をそれぞれ $\mbox{B}'$ ， $\mbox{C}'$ とする．このとき3直線 $\mbox{AA}'$ ， $\mbox{BB}'$ ， $\mbox{CC}'$ は1点 $\mbox{H}$ で交わり，この点 $\mbox{H}$ は三角形 $\mbox{A}'\mbox{B}'\mbox{C}'$ の垂心と一致することを証明せよ．

2025.10.26記
証明には直接関係はありませんが
2006年(平成18年)京都大学後期-数学(理系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
の幾何的な証明で登場したものと似た構図（角の二等分線と外接円の交点を考える構図）が登場します．同じ構図で2問作ったので2年連続で出題した感じかも知れません．

3直線 $\mbox{AA}'$ ， $\mbox{BB}'$ ， $\mbox{CC}'$ は $\triangle\mbox{ABC}$ の $\angle\mbox{A}$ ， $\angle\mbox{B}$ ， $\angle\mbox{C}$ の内角の2等分線ですから， $\triangle\mbox{ABC}$ の内心で交わります．つまり $\mbox{H}$ は $\triangle\mbox{ABC}$ の内心であり，これが $\triangle\mbox{A}'\mbox{B}'\mbox{C}'$ の垂心と一致することを証明する問題となります．

そのためには対称性から $\mbox{AA}'\perp\mbox{B}'\mbox{C}'$ を示すことができれば十分です．本問では内心（角の二等分線の交点）についての情報を活用することを考えると，円周角の定理から角度を移すことが主な作業となると考えることができます．そして $\angle\mbox{A}$ の二等分線と $\mbox{B}'\mbox{C}'$ が垂直に交わると考えれば，「二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺に垂直である」という性質を使えば良いことがわかります．

[解答]
$\angle\mbox{B}'\mbox{AC}=\angle\mbox{B}'\mbox{BC}=\dfrac{1}{2}\angle\mbox{B}$ ， $\angle\mbox{AB}'\mbox{C}'=\angle\mbox{ACC}'=\dfrac{1}{2}\angle\mbox{C}$ であるから， $\angle\mbox{A}'\mbox{AB}'+\angle\mbox{AB}'\mbox{C}'=\dfrac{1}{2}(\angle\mbox{A}+\angle\mbox{B}+\angle\mbox{C})=\dfrac{\pi}{2}$ となり， $\mbox{AA}'\perp\mbox{B}'\mbox{C}'$ となる．同様に $\mbox{BB}'\perp\mbox{C}'\mbox{A}'$ ， $\mbox{CC}'\perp\mbox{A}'\mbox{B}'$ となるので， $\mbox{H}$ は三角形 $\mbox{A}'\mbox{B}'\mbox{C}'$ の垂心と一致する．