https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2007/Rikei_A_1

2025.10.18記

[1](2) 得点 $1，2，\cdots，n$ が等しい確率で得られるゲームを独立に3回くり返す．このとき，2回目の得点が1回目の得点以上であり，さらに3回目の得点が2回目の得点以上となる確率を求めよ．

2025.10.19記

[解答]
1回目から3回目の得点をそれぞれ $a，b，c$ とすると $1\leqq a\leqq b\leqq c\leqq n+2$ なる $(a，b，c)$ と $1\leqq a\lt B=b+1\leqq C=c+2 \leqq n$ なる $(a，B，C)$ は一対一に対応し， $(a，B，C)$ の場合の数は ${}_{n+2}\mbox{C}_3$ 通りであるから，求める確率は $\dfrac{{}_{n+2}\mbox{C}_3}{n^3}=\dfrac{(n+2)(n+1)}{6n^2}$ となる．

十分大きな $n$ に対しては3回の得点が全て異なる確率がほぼ1となるので，それが小さい順番に登場する確率はほぼ $\dfrac{1}{3!}=\dfrac{1}{6}$ になる，と考えれば結果が妥当であることがわかる．