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2007-02-10

2007年(平成19年)京都大学-数学(理系甲)[1](1)

2025.10.18記

[1](1) $A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ ， $E=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ とするとき， $A^6+2A^4+2A^3+2A^2+2A+3E$ を求めよ．

2025.10.19記

[解答]
ケーリー・ハミルトンの定理により $A^2-A+2E=O$ （ $O$ は零行列）であるから
$A^6+2A^4+2A^3+2A^2+2A+3E$ $=(A^2-A+2E)(A^4+A^3+A^2+A+E)+A+E$ $=A+E$ $=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
となる．

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