https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2007/Bunkei

2025.10.18記

[5] $n$ を1以上の整数とするとき，次の2つの命題はそれぞれ正しいか．正しいときは証明し，正しくないときはその理由を述べよ．

命題 $\mathbf{p}$ ：ある $n$ に対して， $\sqrt{n}$ と $\sqrt{n+1}$ は共に有理数である．

命題 $\mathbf{q}$ ：すべての $n$ に対して， $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ は無理数である．

2025.10.29記

[解答]
まず，「 $k$ を1以上の整数とするとき， $\sqrt{k}$ が有理数であることと $k$ が平方数であることが同値」であることを示す．

$\sqrt{k}$ が有理数のとき， $\sqrt{k}=\dfrac{p}{q}$ （ $p，q$ は互いに素な自然数）と表すことができ，このとき
$q^2 k=p^2$ （ $p，q$ は互いに素な自然数）となることから $q=1，k=p^2$ となり， $k$ は平方数である．

逆に $k$ が平方数のとき $\sqrt{k}$ は有理数となるので，同値であることが示された．

(i) 命題 $\mathbf{p}$ は偽である．

ある $n$ に対して， $\sqrt{n}$ と $\sqrt{n+1}$ は共に有理数であると仮定すると $n=a^2，n+1=b^2$ を満たす自然数 $a，b$ （ $a\lt b$ ）が存在するが $1=(n+1)-n=b^2-a^2=(b+a)(b-a)\gt 2a\geqq 2$ となり矛盾するからである．

(ii) 命題 $\mathbf{q}$ は真である．

ある $n$ に対して， $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ が有理数であると仮定すると $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$ も有理数となり，その $n$ に対して $\sqrt{n}$ ， $\sqrt{n+1}$ が共に有理数となり，命題 $\mathbf{p}$ が偽であることに反する．よって命題 $\mathbf{q}$ は真である．

$x=\sqrt{n}$ ， $y=\sqrt{n+1}$ とおくと $y^2-x^2=1$ が成立します．ですから，双曲線 $y^2-x^2=1$ 上の有理点と関連付けてみましょう．

[うまい解答]（というよりも[変な解答]）
双曲線弧 $C:y^2-x^2=1$ （ $x，y\gt 0$ ）と $y=tx+1$ （ $t\gt 0$ ）の交点は $\mbox{P}\left(\dfrac{1-t^2}{2t}，\dfrac{1+t^2}{2t}\right)$ であり， $t$ が $0\lt t\lt 1$ を満たす実数のとき，点 $\mbox{P}$ は $C$ 上をくまなく動くので，これは $C$ のパラメータ表示である．

また， $t$ が $0\lt t\lt 1$ を満たす有理数のとき， $\mbox{P}$ は有理点であり， $C$ 上の任意の有理点に対して，その点と $(0，1)$ を結ぶ直線の傾きとしてを $t$ とおけば，対応する $\mbox{P}$ が得られるので， $C$ 上の任意の有理点は点 $\mbox{P}$ の形に表すことができる．

(i) 命題 $\mathbf{p}$ は偽である．

命題 $\mathbf{p}$ は真であると仮定すると，ある $n$ に対して $\sqrt{n}=\dfrac{1-t^2}{2t}$ を満たす有理数 $t=\dfrac{p}{q}$ （ $p，q$ は互いに素な自然数で $0\lt p\lt q$ ）が存在する（ここで $q\geqq 2$ である）．このとき
$q^4-2(2n+1)p^2q^2+p^4=0$
となるが，左辺は $q$ （ $\geqq 2$ ）で割り切れないので矛盾する．よって命題 $\mathbf{p}$ は偽である．

(ii) 命題 $\mathbf{q}$ は真である．

ある $n$ に対して， $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ が有理数であると仮定すると， $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=t$ であるから $t$ は有理数となり，よって $\sqrt{n}，\sqrt{n+1}$ は共に有理数となり，命題 $\mathbf{p}$ が偽であることに反する．よって命題 $\mathbf{q}$ は真である．