https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2007/Bunkei

2025.10.18記

[4] 座標空間で点 $(3，4，0)$ を通りベクトル $\overrightarrow{a}=(1，1，1)$ に平行な直線を $l$ ，点 $(2，-1，0)$ を通りベクトル $\overrightarrow{b}=(1，-2，0)$ に平行な直線を $m$ とする．点 $\mbox{P}$ は直線 $l$ 上を，点 $\mbox{Q}$ は直線 $m$ 上をそれぞれ勝手に動くとき，線分 $\mbox{PQ}$ の長さの最小値を求めよ．

2025.10.29記

[解答]
$\mbox{P}(3+s，4+s，s)$ ， $\mbox{Q}(2+t，-1-2t，0)$ と表すことができるので，
$\mbox{PQ}^2$ $=(1+s-t)^2+(5+s+2t)^2+s^2$ $=3\left(s+\dfrac{t+6}{3}\right)^2+\dfrac{14}{3}\left(t+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{7}{2}$
となり，これは $s=t=-\dfrac{3}{2}$ のときに最小値 $\dfrac{7}{2}$ をとる．

よって線分 $\mbox{PQ}$ の長さの最小値は $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$ となる．

[大人の解答]
$l$ と $m$ の方向ベクトルは平行でなく，両方の方向ベクトルに垂直な $(2，1，-3)$ との内積をとると点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ は $2x+y-3z=10$ ， $2x+y-3z=3$ 上にある．よって線分 $\mbox{PQ}$ の長さの最小値は $\dfrac{|10-3|}{\sqrt{2^2+1^2+(-3)^2}}=\dfrac{7}{\sqrt{14}}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$ となる．

[大人の解答]は共通垂線の存在を自明としている（ねじれの位置にある2直線には共通垂線が唯一存在するという定理を使用している）ので[大人の解答]としてありますが，このこと自体は， $l$ を $2x+y-3z=3$ に正射影した直線 $l'$ と $m$ は平行でなく交わることからほぼ自明です．