https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2007/Bunkei

2025.10.18記

[2] 3次関数 $y=x^3-2x^2-x+2$ のグラフ上の点 $(1，0)$ における接線を $l$ とする．この3次関数のグラフと接線 $l$ で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに回転して立体を作る．その立体の体積を求めよ．

本問のテーマ

ベータ関数

2025.10.29記
出題者は積分計算がベータ関数で簡単に求まるように設定して検算を行ったに違いない，と思います．

[解答]
$x^3-2x^2-x+2=(x-1)^2x-2x+2$ であるから， $l$ の方程式は $y=-2x+2$ であり， $0\leqq x\leqq 1$ で
$x^3-2x^2-x+2\geqq -2x+2$
が成立する．よって求める体積は
$\pi\displaystyle\int_0^1 \{(x-1)^2x-2(x-1)\}^2\, dx-\dfrac{4}{3}\pi$
$=\pi\displaystyle\int_0^1 \{(x-1)^4x^2-4(x-1)^3x+4(x-1)^2\}\, dx-\dfrac{4}{3}\pi$
$=\pi\left\{ \dfrac{4!2!}{7!}-4\cdot\dfrac{3!1!}{5!}+4\cdot\dfrac{1}{3}\right\}-\dfrac{4}{3}\pi$
$=\pi\left\{ \dfrac{1}{105}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{4}{3}\right\}-\dfrac{4}{3}\pi$
$=\dfrac{22}{105}\pi$
となる．

もちろん， $x=\dfrac{1}{2}$ で折り返して（ $t=1-x$ と置換して）体積を求めても良い．

求める体積は
$\pi\displaystyle\int_0^1 \{(x-1)^2x-2(x-1)\}^2\, dx-\dfrac{4}{3}\pi$ $=\pi\displaystyle\int_0^1 \{x^2(x-1) -2x)\}^2\, dx-\dfrac{4}{3}\pi$ $=\pi\displaystyle\int_0^1 \{x^6-2x^5-3x^4+4x^3+4x^2\}\, dx-\dfrac{4}{3}\pi$ $=\pi\left\{\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{5}+1+\dfrac{4}{3}\right\}-\dfrac{4}{3}\pi$ $=\left\{\dfrac{15-35-63}{105}+1\right\}\pi$ $=\dfrac{22}{105}\pi$
となる．