https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2007/Bunkei_1

2025.10.18記

[1](2) 四角形 $\mbox{ABCD}$ を底面とする四角錐 $\mbox{OABCD}$ を考える．点 $\mbox{P}$ は時刻 $0$ では頂点 $\mbox{O}$ にあり， $0$ 秒ごとに次の規則に従ってこの四角錐の $5$ つの頂点のいずれかに移動する．

規則：点 $\mbox{P}$ のあった頂点と $1$ つの辺によって結ばれる頂点の $1$ つに，等しい確率で移動する．

このとき， $n$ 秒後に点 $\mbox{P}$ が頂点 $\mbox{O}$ にある確率を求めよ．

2025.10.29記

[解答]
求める確率を $p_n$ とおくと， $p_0=1$ ， $p_{n}=\dfrac{1}{3}(1-p_{n-1})$ （ $n=1，2，…$ ）となる．
$p_{n}-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{3}\left(p_{n-1}-\dfrac{1}{4}\right)=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n}\left(p_0-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{3}{4}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$
により
$p_{n}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$
となる．