https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2007/Bunkei

2025.10.18記

[1] 以下の各問にそれぞれ答えよ．

(1) $A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ ， $E=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ とするとき， $A^6+2A^4+2A^3+2A^2+2A+3E$ を求めよ．
(甲(1))

(2) 四角形 $\mbox{ABCD}$ を底面とする四角錐 $\mbox{OABCD}$ を考える．点 $\mbox{P}$ は時刻 $0$ では頂点 $\mbox{O}$ にあり， $1$ 秒ごとに次の規則に従ってこの四角錐の $5$ つの頂点のいずれかに移動する．

規則：点 $\mbox{P}$ のあった頂点と $1$ つの辺によって結ばれる頂点の $1$ つに，等しい確率で移動する．

このとき， $n$ 秒後に点 $\mbox{P}$ が頂点 $\mbox{O}$ にある確率を求めよ．

[2] 3次関数 $y=x^3-2x^2-x+2$ のグラフ上の点 $(1，0)$ における接線を $l$ とする．この3次関数のグラフと接線 $l$ で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに回転して立体を作る．その立体の体積を求めよ．

[3] $p$ を3以上の素数とする．4個の整数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ が次の3条件
$a+b+c+d=0$ ， $ad-bc+p=0$ ， $a \geqq b \geqq c \geqq d$
を満たすとき， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を $p$ を用いて表せ．

[4] 座標空間で点 $(3，4，0)$ を通りベクトル $\overrightarrow{a}=(1，1，1)$ に平行な直線を $l$ ，点 $(2，-1，0)$ を通りベクトル $\overrightarrow{b}=(1，-2，0)$ に平行な直線を $m$ とする．点 $\mbox{P}$ は直線 $l$ 上を，点 $\mbox{Q}$ は直線 $m$ 上をそれぞれ勝手に動くとき，線分 $\mbox{PQ}$ の長さの最小値を求めよ．