https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2006/Rikei

2025.10.01記

[6] $\displaystyle 0\lt \alpha\lt \dfrac{\pi}{2}$ として，関数 $F$ を $\displaystyle F(\theta)=\int_0^{\theta}x\cos(x+\alpha)\, dx$ で定める． $\theta$ が $\displaystyle\left[0，\dfrac{\pi}{2}\right]$ の範囲を動くとき， $F$ の最大値を求めよ．

2025.10.12記
$\dfrac{d}{d\theta}\displaystyle\int_0^{\theta} f(x)\, dx=f(\theta)$ となることを使います．

[解答]
$F'(\theta)=\theta\cos(\theta+\alpha)$ であるから増減表は

$\theta$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{2}-\alpha$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{2}$
$F'(\theta)$		$+$	$0$	$-$
$F(\theta)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$

となるので，求める最大値は
$\displaystyle F\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\int_0^{\frac{\pi}{2}-\alpha}x\cos(x+\alpha)\, dx$ $=\Bigl[ x\sin(x+\alpha)+\cos(x+\alpha)\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}-\alpha}$ $=\dfrac{\pi}{2}-\alpha-\cos\alpha$
となる．

もちろん，どのみち $F(\theta)$ を求めることになるので，一見遠回りですが，次のようにしても大して手間ではありません．

[解答]
$F(\theta)=\displaystyle\int_0^{\theta}x\cos(x+\alpha)\, dx$ $=\Bigl[ x\sin(x+\alpha)+\cos(x+\alpha)\Bigr]_0^{\theta}$ $=\theta\sin(\theta+\alpha)+\cos(\theta+\alpha)-\cos\alpha$
であるから，
$F'(\theta)=\theta\cos(\theta+\alpha)$
が成立する．よって $F(\theta)$ の増減表は

$\theta$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{2}-\alpha$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{2}$
$F'(\theta)$		$+$	$0$	$-$
$F(\theta)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$

となるので，求める最大値は
$\displaystyle F\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\dfrac{\pi}{2}-\alpha-\cos\alpha$
となる．