https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2006/Rikei

2025.10.01記

[5] $\triangle\mbox{ABC}$ に対し，辺 $\mbox{AB}$ 上に点 $\mbox{P}$ を，辺 $\mbox{BC}$ 上に点 $\mbox{Q}$ を，辺 $\mbox{CA}$ 上に点 $\mbox{R}$ を，頂点とは異なるようにとる．この3点がそれぞれの辺上を動くとき，この3点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ．

本問のテーマ

$\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ のアファイン射影
重心座標

2025.10.12記
「辺上」とある場合，辺の両端を含むか除くか悩ましいところですが，とりあえず除いて考えることにします．

[大人の解答]
$\mbox{AP}:\mbox{PB}=(1-p):p$ ， $\mbox{BQ}:\mbox{QC}=(1-q):q$ ， $\mbox{CR}:\mbox{RA}=(1-r):r$
（ $0\lt p，q，r\lt 1$ ）とおき， $\triangle\mbox{PQR}$ の重心を $\mbox{G}$ とおき $\overrightarrow{\mbox{AG}}=b\overrightarrow{\mbox{AB}}+c\overrightarrow{\mbox{AC}}$ とおくと $(b，c)=\left(\dfrac{p-q+1}{3}，\dfrac{q-r+1}{3}\right)$ であるから， $(p，q，r)\mapsto(b，c)$ は $\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ のアファイン射影となる．アファイン射影は内部を内部に移すので，凸図形から境界を除いたものである立方体の内部 $0\lt p，q，r\lt 1$ の像は $(p，q，r)=(0，0，0)$ ， $(1，0，0)$ ， $(0，1，0)$ ， $(0，0，1)$ ， $(1，1，0)$ ， $(1，0，1)$ ， $(0，1，1)$ ， $(1，1，1)$ の像である $(b，c)=\left(\dfrac{1}{3}，\dfrac{1}{3}\right)$ ， $\left(\dfrac{2}{3}，\dfrac{1}{3}\right)$ ， $\left(0，\dfrac{2}{3}\right)$ ， $\left(\dfrac{1}{3}，0\right)$ ， $\left(\dfrac{1}{3}，\dfrac{2}{3}\right)$ ， $\left(\dfrac{2}{3}，0\right)$ ， $\left(0，\dfrac{1}{3}\right)$ ， $\left(\dfrac{1}{3}，\dfrac{1}{3}\right)$ の凸包から境界を除いたものとなる．

2021年(令和3年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じように，平行六面体を射影した向かい合う辺が互いに平行な六角形が求める答となります．なお，重心座標を用いると対称性を残すことができます．

[大人の解答]
$\triangle\mbox{ABC}$ の重心座標系において $\mbox{A}(1，0，0)$ ， $\mbox{B}(0，1，0)$ ， $\mbox{C}(0，0，1)$ ， $\mbox{P}(p，1-p，0)$ ， $\mbox{B}(0，q，1-q)$ ， $\mbox{C}(1-r，0，r)$ （ $0\lt p，q，r\lt 1$ ）とおくと， $\triangle\mbox{PQR}$ の重心 $\mbox{G}$ の重心座標は $(\alpha，\beta，\gamma)=\left(\dfrac{1+p-r}{3}，\dfrac{1+q-p}{3}，\dfrac{1+r-q}{3}\right)$ となる．このとき $0\lt \alpha，\beta，\gamma\lt \dfrac{2}{3}$ であるから，求める範囲は次図

$(\alpha，\beta，\gamma)$ は（表面を除く）立方体の内部 $0\lt p，q，r \lt 1$ をアファイン射影で移したものであるから，境界の内部を全て動きうることは「大人にとっては自明」である．

[解答]
$\mbox{AP}:\mbox{PB}=(1-p):p$ ， $\mbox{BQ}:\mbox{QC}=(1-q):q$ ， $\mbox{CR}:\mbox{RA}=(1-r):r$
（ $0\lt p，q，r\lt 1$ ）とおき， $\triangle\mbox{PQR}$ の重心を $\mbox{G}$ とおくと $\overrightarrow{\mbox{AG}}=b\overrightarrow{\mbox{AB}}+c\overrightarrow{\mbox{AC}}$ とおくと $(b，c)=\left(\dfrac{p-q+1}{3}，\dfrac{q-r+1}{3}\right)$ である．

ここで $b，c$ の両方に登場する $q$ を固定すると， $\dfrac{1-q}{3}\lt b\lt \dfrac{2-q}{3}$ ， $\dfrac{q}{3}\lt c\lt \dfrac{q+1}{3}$ であるから，
$(b，c)=\left(\dfrac{1-q}{3}，\dfrac{q}{3}\right)$ ， $\left(\dfrac{1-q}{3}，\dfrac{q+1}{3}\right)$ ， $\left(\dfrac{2-q}{3}，\dfrac{q}{3}\right)$ ， $\left(\dfrac{2-q}{3}，\dfrac{q+1}{3}\right)$ の4点からなる平行四辺形の内部を動く．この4点において $b+c=\dfrac{1}{3}，\dfrac{2}{3}，\dfrac{2}{3}，1$ と $q$ によらないので， $q$ を変化させたとき，この平行四辺形は $\mbox{BC}$ に平行に移動することに注意すると，求める範囲は
$(b，c)=\left(\dfrac{1}{3}，0\right)$ ， $\left(0，\dfrac{1}{3}\right)$ ， $\left(\dfrac{2}{3}，0\right)$ ， $\left(0，\dfrac{2}{3}\right)$ ， $\left(\dfrac{2}{3}，\dfrac{1}{3}\right)$ ， $\left(\dfrac{1}{3}，\dfrac{2}{3}\right)$ なる6点からなる六角形の内部となる．

$\overrightarrow{\mbox{AG}}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mbox{AQ}}+\dfrac{p}{3}\overrightarrow{\mbox{AB}}+\dfrac{1-r}{3}\overrightarrow{\mbox{AC}}$ と変形し， $1-r$ を改めて $r$ と置きなおすと次のようになる．

[解答]
$\mbox{A}$ を始点とする位置ベクトルを考える．

$\overrightarrow{\mbox{AP}}=p\overrightarrow{\mbox{AB}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{AR}}=r\overrightarrow{\mbox{AC}}$ （ $0\lt p，r\lt 1$ ）とおき， $\triangle\mbox{PQR}$ の重心を $\mbox{G}$ とおくと $\overrightarrow{\mbox{AG}}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mbox{AQ}}+\dfrac{p}{3}\overrightarrow{\mbox{AB}}+\dfrac{r}{3}\overrightarrow{\mbox{AC}}$ が成立する．

$\mbox{Q}$ を固定すると $\overrightarrow{\mbox{AG}}$ は
$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mbox{AQ}}$ ， $\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{\mbox{AQ}}+\overrightarrow{\mbox{AB}})$ ， $\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{\mbox{AQ}}+\overrightarrow{\mbox{AC}})$ ， $\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{\mbox{AQ}}+\overrightarrow{\mbox{AB}}+\overrightarrow{\mbox{AC}})$ ，
を位置ベクトルとする4点から定まる $\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mbox{AB}}$ ， $\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mbox{AC}}$ で張られる平行四辺形の内部にあり， $\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mbox{AQ}}$ を位置ベクトルとする点は， $\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mbox{AB}}$ を位置ベクトルとする点と $\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mbox{AC}}$ を位置ベクトルとする点を結ぶ線分（両端除く）を動くので，求める範囲は
$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mbox{AB}}$ ， $\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mbox{AB}}$ ， $\dfrac{1}{3}(2\overrightarrow{\mbox{AB}}+\overrightarrow{\mbox{AC}})$ ， $\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{\mbox{AB}}+2\overrightarrow{\mbox{AC}})$ ， $\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mbox{AC}}$ ， $\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mbox{AC}}$ を位置ベクトルとする6点からなる六角形の内部となる．