2006年(平成18年)京都大学前期-数学(理系)[4]

2025.10.01記

[4] $2$ 以上の自然数 $n$ に対し， $n$ と $n^2+2$ がともに素数になるのは $n=3$ の場合に限ることを示せ．

2025.10.04記
京大の好きな mod 3 で考える．

[解答]
$n=3k\pm 1$ と書ける場合， $n^2+2=9k^2\pm 6k+3$ は $3$ の倍数となり題意は満たさない．

$n=3k$ と書ける場合， $n$ が素数となるのは $n=3$ のみで，このとき $n^2+2=11$ も素数となる．

よって題意を満たす $n$ は $n=3$ の場合に限る．

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