https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2006/Rikei

2025.10.01記

[3] 関数 $y=f(x)$ のグラフは，座標平面で原点に関して点対称である．さらにこのグラフの $x \leqq 0$ の部分は，軸が $y$ 軸に平行で，点 $\left(-\dfrac{1}{2}，\dfrac{1}{4}\right)$ を頂点とし，原点を通る放物線と一致している．このとき $x=-1$ におけるこの関数のグラフの接線とこの関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ．

2025.10.04記

[解答]
$y=f(x)$ の $x\leqq 0$ の部分は原点を通り頂点が $\left(-\dfrac{1}{2}，\dfrac{1}{4}\right)$ である放物線 $y=-x^2-x$ である．この放物線上の点 $(-1，0)$ における接線 $y=x+1$ と $y=f(x)$ の $x\gt 0$ の部分 $y=x^2-x$ の交点の $x$ 座標は $x^2-2x-1=0$ の正の解 $\alpha=1+\sqrt{2}$ であり， $\alpha^2=2\alpha+1$ ， $\alpha^3=(2\alpha+1)\alpha+1=5\alpha+2$ に注意すると，求める面積は
$\dfrac{(1+\alpha)^2}{2}-\displaystyle\int_1^{\alpha}(x^2-x)\, dx$ $=\dfrac{(1+\alpha)^2}{2}-\dfrac{\alpha^3}{3}+\dfrac{\alpha^2}{2}-\dfrac{1}{6}$ $=\dfrac{-\alpha^3+3\alpha^2+3\alpha+1}{3}$ $=\dfrac{-(5\alpha+2)+3(2\alpha+1)+3\alpha+1}{3}$ $=\dfrac{4\alpha+2}{3}$ $=\dfrac{6+4\sqrt{2}}{3}$
となる．