https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2006/Rikei

2025.10.01記

[2] 点 $\mbox{O}$ を原点とする座標空間の3点を $\mbox{A}(0，1，2)$ ， $\mbox{B}(2，3，0)$ ， $\mbox{P}(5+t，9+2t，5+3t)$ とする．線分 $\mbox{OP}$ と線分 $\mbox{AB}$ が交点を持つような実数 $t$ が存在することを示せ．またそのとき，交点の座標を求めよ．

2025.10.04記

[解答]
$t$ を変化させると直線 $\mbox{OP}$ は
$(0，0，0)$ ， $(5，9，5)$ ， $\mbox{P}(1，2，3)$ を通る平面 $17x-10y+z=0$ を描く．この平面と直線 $\mbox{AB}$ 上の点 $(2s，1+2s，2-2s)$ の交点は $s=\dfrac{2}{3}$ のとき（ $0\lt s\lt 1$ より線分 $\mbox{AB}$ 上の点）の $\mbox{Q}\left(\dfrac{4}{3}，\dfrac{7}{3}，\dfrac{2}{3}\right)$ である．ここで $t=-1$ のときに $5+t:9+2t:5+3t=4:7:2$ となり，このとき
$\overrightarrow{\mbox{OQ}}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mbox{OP}}$
となるので $\mbox{Q}$ は線分 $\mbox{OP}$ 上の点となるので問題の条件を満たしている．

[解答]
線分 $\mbox{OP}$ 上の点は
$\bigl(5+t)k，(9+2t)k，(5+3t)k\bigr)$ （ $0\leqq k\leqq 1$ ），
線分 $\mbox{AB}$ 上の点は
$(2l，1+2l，2-2l)$ （ $0\leqq l\leqq 1$ ），
と表すことができる．よって
$(5+t)k=2l$ ， $(9+2t)k=1+2l$ ， $(5+3t)k=2-2l$
を満たす実数 $t$ ， $k$ ， $l$ （ $0\leqq k，l\leqq 1$ ）が存在すれば良い． $kt$ を消去すると $k=2l-1$ ， $10k=8l-2$ が得られるので $k=\dfrac{1}{3}，l=\dfrac{2}{3}$ となり，よって $t=-1$ が得られる． $k，l$ は $0\leqq k，l\leqq 1$ を満たしているので $t=-1$ のときに線分 $\mbox{OP}$ と線分 $\mbox{AB}$ は交点を持ち，その座標は $(2l，1+2l，2-2l)$ に $l=\dfrac{2}{3}$ を代入した $\left(\dfrac{4}{3}，\dfrac{7}{3}，\dfrac{2}{3}\right)$ である．

[大人の解答]
四面体 $\mbox{OABP}$ の体積は
$\left|\dfrac{1}{6} \mbox{det}\begin{pmatrix} 0 & 2 & 5+t \\1 & 3 & 9+2t \\ 2 & 0 & 5+3t \end{pmatrix}\right|$ $=\left|\dfrac{1}{12} \mbox{det}\begin{pmatrix} 0 & 2 & 5+t \\ 0 & 0 & -2-2t \\ 2 & 0 & 5+3t \end{pmatrix}\right|$ $=\dfrac{2}{3} |1+t|$
であるから，直線 $\mbox{OP}$ と直線 $\mbox{AB}$ が交点を持つのは $t=-1$ のときである．

このとき， $\mbox{A}(0，1，2)$ ， $\mbox{B}(2，3，0)$ ， $\mbox{P}(4，7，2)$ となり， $\overrightarrow{\mbox{OA}}+2\overrightarrow{\mbox{OB}}=\overrightarrow{\mbox{OP}}$ が成立する．よって $\overrightarrow{\mbox{OQ}}=\dfrac{\overrightarrow{\mbox{OA}}+2\overrightarrow{\mbox{OB}}}{3}$ $=\dfrac{\overrightarrow{\mbox{OP}}}{3}$ なる点 $\mbox{Q}\left(\dfrac{4}{3}，\dfrac{7}{3}，\dfrac{2}{3}\right)$ は $\mbox{OP}$ を $1:2$ に内分し， $\mbox{AB}$ を $2:1$ に内分するので，線分 $\mbox{OP}$ と線分 $\mbox{AB}$ は点 $\mbox{Q}$ で交わる．