以下の内容はhttps://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2006/Rikei_1より取得しました。

2006年(平成18年)京都大学前期-数学(理系)[1]

2025.10.01記

[1] $Q(x)$ を2次式とする．整式 $P(x)$ は $Q(x)$ では割り切れないが， $\{P(x)\}^2$ は $Q(x)$ で割り切れるという．このとき2次方程式 $Q(x)=0$ は重解を持つことを示せ．

2025.10.03記

[解答]
複素数係数の2次式は複素数の範囲で $Q(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$ と因数分解できる．

$\alpha\neq\beta$ と仮定すると， $\{P(x)\}^2$ は $Q(x)$ で割り切れるので「 $\{P(\alpha)\}^2=0$ または $\{P(\beta)\}^2=0$ 」，つまり「 $P(\alpha)=P(\beta)=0$ 」となるが，このとき整式 $P(x)$ が $Q(x)$ で割り切れることとなり矛盾．よって $\alpha=\beta$ となり2次方程式 $Q(x)=0$ は重解を持つ．

2012年(平成24年)京都大学-数学(理系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
でも書いた大学に入って間もない頃に某ゼミナールの採点バイトの試験を受けたときの第一問

「多項式 $f(x)$ が $f(\alpha)=f(\beta)=0$ を満たすとき， $f(x)$ は $(x-\alpha)(x-\beta)$ で割り切れる」は正しいか

を思い出した．

[別解]
$P(x)$ を $Q(x)$ で割った商を $S(x)$ ，余りを $R(x)$ （ $1$ 次式または $0$ でない定数）とおくと
$\{P(x)\}^2$ を $Q(x)$ で割った余りは $2$ 次以下の $\{R(x)\}^2$ を $2$ 次式 $Q(x)$ で割った余りに等しく，割り切れることから

$R(x)$ は $1$ 次式で $\{R(x)\}^2$ は $Q(x)$ の $0$ でない定数倍

となる．つまり $Q(x)$ は $1$ 次式 $R(x)$ の2乗の $0$ でない定数倍であるから，2次方程式 $Q(x)=0$ は重解を持つ．

以上の内容はhttps://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2006/Rikei_1より取得しました。
このページはhttp://font.textar.tv/のウェブフォントを使用してます

不具合報告/要望等はこちらへお願いします。
モバイルやる夫Viewer Ver0.14