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2006年(平成18年)京都大学後期-数学(理系)[6]

2025.10.01記

[6] \tan1^{\circ} は有理数か．

2025.10.13記
出題されたときは出題文の短さで話題になったが，有名になりすぎて解き方が常識になってしまいました．

[解答]
\tan 1^{\circ} が有理数であると仮定すると，
\tan (n+1)^{\circ}=\dfrac{\tan n^{\circ}+\tan 1^{\circ}}{1-\tan n^{\circ}\tan 1^{\circ}}
に n=1，2，…，29 を代入して帰納的に計算することにより，\tan 30^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} が有理数となり矛盾する．よって \tan 1^{\circ} は有理数ではない．



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