https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2006/Kouki_Ri

2025.10.01記

[5] $H\gt 0$ ， $R\gt 0$ とする．空間内において，原点 $\mbox{O}$ と点 $\mbox{P}(R，0，H)$ を結ぶ線分を， $z$ 軸のまわりに回転させてできる容器がある．この容器に水を満たし，原点から水面までの高さが $h$ のとき単位時間あたりの排水量が， $\sqrt{h}$ となるように，水を排出する．すなわち，時刻 $t$ までに排出された水の総量を $V(t)$ とおくとき， $\dfrac{dV}{dt}=\sqrt{h}$ が成り立つ．このときすべての水を排出するのに要する時間を求めよ．

2025.10.13記

[解答]
原点から水面までの高さが $h$ のところの断面積は $S(h)=\dfrac{\pi R^2h^2}{H^2}$ であり， $dV=S(h)dh$ が成立する．ここで $dV=\sqrt{h}dt$ であるから
$\dfrac{dt}{dh}=\dfrac{S(h)}{\sqrt{h}}=\dfrac{\pi R^2}{H^2}\cdot h^{\frac{3}{2}}$
が成立する．よって $t=0$ と $h=H$ が対応するので
$t=-\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{\pi R^2}{H^2}\cdot h^{\frac{5}{2}}$ $+\dfrac{2}{5}\cdot\pi R^2\sqrt{H}$
が成立する．よって $h=0$ となる $t$ の値は $\dfrac{2}{5}\cdot\pi R^2\sqrt{H}$ となる．