https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2006/Kouki_Ri

2025.10.01記

[2] $a$ を実数として，行列 $A$ を $A=\begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{pmatrix}$ と定める． $\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ とし，数列 $\{ x_n \}$ ， $\{ y_n \}$ を次の式で定める．

$\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} x_{n-1} \\ y_{n-1} \end{pmatrix}$ ， $n=1$ ， $2$ ， $\cdots$

このとき数列 $\{x_n\}$ が収束するための $a$ の必要十分条件を求めよ．

本問のテーマ

実対称行列の固有ベクトル

2025.10.13記
「実対称行列は固有ベクトルが直交する」というのは当時の常識であり， $\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$ 型の行列の固有ベクトルが $\begin{pmatrix} 1 \\ \pm 1 \end{pmatrix}$ となるのも常識でした．

[解答]
$\vec{p}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ， $\vec{q}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ とおくと
$A\vec{p}=\vec{p}$ ， $A\vec{q}=(2a-1)\vec{q}$ ， $\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}(\vec{p}+\vec{q})$
であるから，
$\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}=\dfrac{1}{2} A^n(\vec{p}+\vec{q})$ $=\dfrac{1}{2}(\vec{p}+(2a-1)^n\vec{q})$
が成立し，よって
$x_n=\dfrac{1+(2a-1)^n}{2}$
となる．よって $\{x_n\}$ が収束するための $a$ の必要十分条件は $0\lt a\leqq 1$ である．