2006年(平成18年)京都大学後期-数学(理系)

[1] 次式 ，， に対して が成り立つとする．このとき と はともに の定数倍であることを示せ．

[2] を実数として，行列 を と定める． とし，数列 ， を次の式で定める．

， ，，

このとき数列 が収束するための の必要十分条件を求めよ．

[3] さいころを 個同時に投げるとき，出た目の数の和が になる確率を求めよ．

[4] 平面上の点 を中心とし半径1の円周上に相異なる3点 ，， がある． の内接円の半径 は 以下であることを示せ．

[5] ， とする．空間内において，原点 と点 を結ぶ線分を， 軸のまわりに回転させてできる容器がある．この容器に水を満たし，原点から水面までの高さが のとき単位時間あたりの排水量が， となるように，水を排出する．すなわち，時刻 までに排出された水の総量を とおくとき， が成り立つ．このときすべての水を排出するのに要する時間を求めよ．

[6] は有理数か．