https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2006/Kouki_Bun

2025.10.01記

[4] $n$ を自然数とし， $xy$ 平面の次の領域
$\displaystyle D_n=\left\{ (x，y) \Bigg| \dfrac{x}{\displaystyle n+\dfrac{1}{2}} \leqq y \leqq [x+1]-x，x\geqq0 \right\}$
を考える．ただし，記号 $[x$ ] は $x$ より大きくない最大の整数を表すものとする．このとき $D_n$ の面積を求めよ．

2025.10.13記

[解答]
$k\leqq x\lt k+1$ ( $k=0，…，n$ ) のときに $D_n$ に含まれる領域 $E_k$ は
「 $\dfrac{x}{n+\dfrac{1}{2}}\leqq y\leqq k+1-x$ かつ $k\leqq x\leqq k+1$ 」，
つまり
「 $\dfrac{x}{n+\dfrac{1}{2}}\leqq y\leqq k+1-x$ かつ $k\leqq x$ 」
となり，この領域の面積を $A_k$ とおくと， $E_k$ はすべて相似な三角形であり，その辺の大きさは $n+\dfrac{1}{2}$ からの距離 $n-k+\dfrac{1}{2}$ に比例することから， $E_{n}，…，E_0$ の相似比は $1，3，…，2n+1$ となる．

よって求める面積 $S_n$ は
$S_n=A_n\{1^2+3^2+\cdots +(2n+1)^2\}$ $=A_n\left\{\dfrac{(2n+1)(2n+2)(4n+3)}{6}-4\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right\}$ $=A_n\cdot\dfrac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}$
となる．ここで $A_n=\dfrac{A_0}{(2n+1)^2}$ であるから，
$S_n=A_0\cdot\dfrac{(n+1)(2n+3)}{3(2n+1)}$
が成立する．

$A_0$ は $(0，0)$ ， $(0，0)$ ， $(0，0)$ ， $\left(\dfrac{2n+1}{2n+3}，\dfrac{2}{2n+3}\right)$ を頂点とする三角形の面積であるから $A_0=\dfrac{2n+1}{2(2n+3)}$ となり，よって
$S_n=\dfrac{2n+1}{2(2n+3)}\cdot\dfrac{(n+1)(2n+3)}{3(2n+1)}$ $=\dfrac{n+1}{6}$
となる．